Im drei-dimensionalen Raum

Im drei-dimensionalen Raum kann ein divergenzfreies Feld als Rotation eines Vektorpotentials ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})}$ dargestellt werden:

${\displaystyle {\vec {r}}({\vec {x}})=\operatorname {rot} ({\vec {A}}({\vec {x}})).}$

Daraus folgt:

${\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {g}}({\vec {x}}))=-\operatorname {rot} (\operatorname {grad} (\Phi ({\vec {x}})))\equiv 0}$

und

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {r}}({\vec {x}}))=\operatorname {div} (\operatorname {rot} ({\vec {A}}({\vec {x}})))\equiv 0}$.

Es ist also möglich das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}})}$ durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale ${\displaystyle \Phi ({\vec {x}})}$ und ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})}$ auszudrücken.

${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}})={\vec {g}}({\vec {x}})+{\vec {r}}({\vec {x}})=-\operatorname {grad} (\Phi ({\vec {x}}))+\operatorname {rot} ({\vec {A}}({\vec {x}}))}$

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}})}$ gewinnen. Es handelt sich hierbei um die Faltung der Divergenz bzw. Rotation des Vektorfelds, wobei als Integralkern die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung genutzt wird.

${\displaystyle \Phi ({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {div} ({\vec {f}}({\vec {x}}'))}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'}$

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {rot} ({\vec {f}}({\vec {x}}'))}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'}$

Hierbei ist ${\displaystyle V}$ das die Felder enthaltende Volumen. Bei Feldern, für die ${\displaystyle V}$ unbeschränkt ist, beispielsweise der gesamte drei-dimensionale Raum, so ist die mathematische Voraussetzung für die Verwendung der Faltungsintegrale, dass ${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {f}}({\vec {x}}))}$ und ${\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}}({\vec {x}}))}$ für ${\displaystyle r\to \infty }$ schneller als ${\displaystyle {\tfrac {1}{|{\vec {x}}|}}}$ gegen ${\displaystyle 0}$ geht, also ${\displaystyle \lim \nolimits _{|{\vec {x}}|\to \infty }{\vec {f}}({\vec {x}})|{\vec {x}}|=0}$. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen. Daher wird die Helmholtz-Zerlegung in Lehrbüchern häufig überhaupt nur für Testfunktionen definiert, die diese Eigenschaft erfüllen. Otto Blumenthal zeigte allerdings bereits 1905, dass mit einem veränderten Integrationskern eine Integration für alle Felder möglich ist, die schneller als eine Potenzfunktion ${\displaystyle |{\vec {x}}|^{-d}}$ mit ${\displaystyle d>0}$ abfallen. Hierfür ersetzt man in den Integrationsgleichungen den Kern ${\displaystyle K(x,x')}$ durch ${\displaystyle K'({\vec {x}},{\vec {x}}')=K({\vec {x}},{\vec {x}}')-K(0,{\vec {x}}')}$. Mit noch komplexeren Integrationskernen kann sogar für divergierende, allerdings nicht schneller als polynomial ansteigende, Funktionen eine numerische Lösung berechnet werden.

Im n-dimensionalen Raum

Die Verallgemeinerung auf ${\displaystyle n}$ Dimensionen kann nicht mit einem Vektorpotential erfolgen, da der Rotationsoperator und das Kreuzprodukt nur in drei Dimensionen definiert sind. Das Skalarpotential ist hingegen identisch definiert wie in drei Dimensionen als

${\displaystyle G({\vec {x}})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\operatorname {div} ({\vec {f}}({\vec {x}}'))K({\vec {x}},{\vec {x}}')dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\sum _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}')K({\vec {x}},{\vec {x}}')dx',}$

wobei als Integrationskern ${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}')}$ wieder die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung im n-dimensionalen Raum eingesetzt wird:

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|}&n=2,\\{\frac {1}{n(2-n)V_{n}}}|{\vec {x}}-{\vec {x}}'|^{2-n}&{\text{sonst}},\end{cases}}}$

mit ${\displaystyle V_{n}=\pi ^{\frac {n}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {n}{2}}+1{\big )}}$ dem Volumen des n-dimensionalen Einheitsballs und ${\displaystyle \Gamma ({\vec {x}})}$ der Gamma-Funktion.

Für ${\displaystyle n=3}$ entspricht ${\displaystyle V_{n}}$ gerade ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$, wodurch sich derselbe Vorfaktor wie oben ergibt. Das Rotationspotential ist eine antisymmetrische Matrix mit den Elementen:

${\displaystyle R_{ij}({\vec {x}})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}({\vec {x}}')-{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}')\right)K({\vec {x}},{\vec {x}}')dx'.}$

Oberhalb der Diagonale stehen ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{2}}}$ Einträge, die an der Diagonale gespiegelt erneut auftreten, allerdings mit negativem Vorzeichen. Im drei-dimensionalen Fall entsprechen die Matrixelemente gerade die Komponenten des Vektorpotentials ${\displaystyle A=[A_{1},A_{2},A_{3}]=[R_{23},R_{31},R_{12}]}$. Ein solches Matrix-Potential lässt sich allerdings nur im dreidimensionalen Fall als Vektor schreiben, weil ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{2}}=n}$ nur für ${\displaystyle n=3}$ gilt.

Wie im drei-dimensionalen Fall ist das Gradientenfeld als Gradient des Skalarpotentials ${\displaystyle G}$ definiert. Das Rotationsfeld ist hingegen im allgemeinen Fall definiert als:

${\displaystyle {\vec {r}}({\vec {x}})=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{x_{k}}R_{ik}({\vec {x}});{1\leq i\leq n}\right],}$

also als Zeilen-Divergenz der Matrix. Im drei-dimensionalen Raum ist dies äquivalent zur Rotation des Vektorpotentials.

Genauso wie in drei Dimensionen muss die Divergenz des Vektorfelds sowie der Term ${\displaystyle {\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}-{\tfrac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}}$ für ${\displaystyle |{\vec {x}}|\to \infty }$ schneller als ${\displaystyle {\tfrac {1}{|{\vec {x}}|^{2}}}}$ gegen ${\displaystyle 0}$ gehen, oder bei durch Ersetzen des Integrationskerns ${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}')}$ durch ${\displaystyle K'({\vec {x}},{\vec {x}}')=K({\vec {x}},{\vec {x}}')-K(0,{\vec {x}}')}$ schneller als ${\displaystyle |{\vec {x}}|^{-d}}$ mit d > 0 abfallen.

Für alle analytischen Vektorfelder, die auch nicht im Unendlichen gegen Null gehen müssen, lassen sich mit Methoden basierend auf der partiellen Integration und der Cauchy-Formel für mehrfache Integration die Rotations- und Skalarpotentiale analytisch berechnen. Für multivariate Polynome, Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktionen gibt es explizite Lösungen.

Helmholtz-Hodge-Zerlegung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Im Rahmen der Hodge-Theorie und der De-Rham-Kohomologie verallgemeinert die Helmholtz-Hodge-Zerlegung das Helmholtz-Theorem von Vektorfeldern zu Differentialformen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Elektrodynamik

Das Helmholtz-Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Mit der Helmholtz-Zerlegung lässt sich beweisen, dass bei gegebener elektrischer Stromdichte und Ladungsdichte das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte bestimmen lassen. Sie sind eindeutig, wenn die Dichten im unendlichen verschwinden und man dasselbe für die Potentiale annimmt.

Fluiddynamik

In der Fluiddynamik, speziell der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen, spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung. Diese ist nur noch von der Geschwindigkeit der Teilchen in der Strömung abhängig, jedoch nicht mehr vom statischen Druck, wodurch die Gleichung auf eine Unbekannte reduziert werden konnte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent. Der Operator ${\displaystyle P\Delta }$ wird Stokes-Operator genannt.

Theorie dynamischer Systeme

In der Theorie dynamischer Systeme können mittels der Helmholtz-Zerlegung „Quasipotentiale“ bestimmt werden sowie in manchen Fällen Lyapunov-Funktionen berechnet werden.

Für einige dynamische Systeme wie das auf Edward N. Lorenz (1963) zurückgehende Lorenz-System, ein vereinfachtes Modell für atmosphärische Konvektion, lässt sich die Helmholtz-Zerlegung analytisch berechnen:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\vec {f}}({\vec {x}})={\big [}a(x_{2}-x_{1}),x_{1}(b-x_{3})-x_{2},x_{1}x_{2}-cx_{3}{\big ]}.}$

Die Helmholtz-Zerlegung von ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}})}$ ist, mit dem Skalarpotential ${\displaystyle \Phi ({\vec {x}})=-{\tfrac {a}{2}}x_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}x_{2}^{2}-{\tfrac {c}{2}}x_{3}^{2}}$ gegeben als:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {g}}({\vec {x}})&={\big [}-ax_{1},-x_{2},-cx_{3}{\big ]},\\{\vec {r}}({\vec {x}})&={\big [}+ax_{2},bx_{1}-x_{1}x_{3},x_{1}x_{2}{\big ]}.\end{aligned}}}$

Das quadratische Skalarpotential sorgt für eine Bewegung in Richtung des Koordinatenursprungs, was für den stabilen Fixpunkt für einige Parameterbereich verantwortlich ist. Für andere Parameter sorgt das Rotationsfeld dafür, dass ein seltsamer Attraktor entsteht, wodurch das Modell einen Schmetterlingseffekt zeigt.

Computeranimation und Robotik

Die Helmholtz-Zerlegung wird auch im Bereich der Computertechnik verwendet. Dazu gehört die Robotik, die Bildrekonstruktion aber auch die Computeranimation, wo die Zerlegung für eine realistische Visualisierung von Fluiden oder Vektorfeldern eingesetzt wird.