„Die logische und mathematische Begründung des Zusammenbruchsgesetzes.“

Grossmann gibt neben einer „arithmetischen und logischen Beweisführung“ noch für „Mathematiker“ eine allgemeine Darstellung, die von den Zufälligkeiten eines konkreten arithmetischen Schemabeispiels frei ist:

Bedeutung der Symbole

c = konstantes Kapital. Anfangswert = c_o. Wert nach j Jahren = c_j
v = variables Kapital. Anfangswert = v_o. Wert nach j Jahren = v_j
m = Mehrwertrate als Prozentsatz von v
a_c = Akkumulations-Rate des konstanten Kapitals c
a_v = Akkumulationsrate des variablen Kapitals v
k = Konsumtionsteil der Kapitalisten
M = Mehrwertmasse =

${\displaystyle k+{\frac {a_{c}\cdot c}{100}}+{\frac {a_{v}\cdot v}{100}}}$

Ω = organische Zusammensetzung des Kapitals, oder c:v
(Grossmann meint hier den Anfangswert der organischen Zusammensetzung des Kapitals c_o:v_o)
j = Anzahl der Jahre

Ferner sei

${\displaystyle r=1+{\frac {a_{c}}{100}}}$

und

${\displaystyle s=1+{\frac {a_{v}}{100}}}$

Die Formel

Nach j Jahren hat das konstante Kapital c unter der vorausgesetzten Akkumulationsrate a_c den Betrag

${\displaystyle c_{j}=c_{o}\cdot r^{j}}$

Unter der vorausgesetzten Akkumulationsrate a_v hat das variable Kapital v den Wert:

${\displaystyle v_{j}=v_{o}\cdot s^{j}}$

erreicht.

Im Jahre darauf (j + 1) wird die übliche Akkumulation fortgesetzt, und zwar nach der Formel:

${\displaystyle M=k+{\frac {c_{o}\cdot r^{j}\cdot a_{c}}{100}}+{\frac {v_{o}\cdot s^{j}\cdot a_{v}}{100}}={\frac {m\cdot v_{o}\cdot s^{j}}{100}}}$

Hieraus folgt:

${\displaystyle k={\frac {v_{o}\cdot s^{j}(m-a_{v})}{100}}-{\frac {c_{o}\cdot r^{j}\cdot a_{c}}{100}}}$

Damit k größer als 0 sei, muss sein:

${\displaystyle {\frac {v_{o}\cdot s^{j}(m-a_{v})}{100}}>{\frac {c_{o}\cdot r^{j}\cdot a_{c}}{100}}}$

Es ist k = 0 für ein Jahr n, wenn

${\displaystyle {\frac {v_{o}\cdot s^{n}(m-a_{v})}{100}}={\frac {c_{o}\cdot r^{n}\cdot a_{c}}{100}}}$

Der Zeitpunkt der absoluten Krise ist dort gegeben, wo der Konsumtionsteil der Unternehmer gänzlich verschwindet, nachdem er bereits lange vorher sich verkleinert hat. Das bedeutet:

${\displaystyle \left({\frac {r}{s}}\right)^{n}={\frac {m-a_{v}}{\Omega \cdot a_{c}}}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle n={\frac {\log \left({\frac {m-a_{v}}{\Omega \cdot a_{c}}}\right)}{\log \left({\frac {100+a_{c}}{100+a_{v}}}\right)}}}$

Dies ist eine reelle Zahl, solange m > a_v

Diese Voraussetzung liegt aber der ganzen Betrachtungsweise zugrunde. Von dem Zeitpunkt n angefangen, reicht die Mehrwertmasse M nicht aus, um die Verwertung von c und v unter den bisher gemachten Voraussetzungen zu sichern.

Diskussion der Formel

Die Zahl der Jahre n bis zur absoluten Krise hängt somit von 4 Bedingungen ab:

1. Von der Höhe (vom Ausgangswert) der organischen Zusammensetzung Ω. Je größer diese, umso kleiner die Zahl der Jahre. Die Krise wird beschleunigt.
2. Von der Akkumulationsrate des konstanten Kapitals a_c, die in demselben Sinne wirkt wie die organische Zusammensetzung des Kapitals Ω.
3. Von der Akkumulationrate des variablen Kapitals a_v, die sowohl verschärfend als auch abschwächend wirken kann, deren Wirkung also, wie aus der Formel zu ersehen ist, ambivalent ist.
4. Von der Höhe der Mehrwertrate m, welche abschwächend wirkt, d. h., dass, je größer m, umso größer auch die Zahl der Jahre n, wodurch die Zusammenbruchstendenz abgeschwächt wird.

Der Akkumulationsprozess kann fortgesetzt werden, wenn die bisherigen Voraussetzungen geändert werden, nämlich:

1. entweder, dass die Akkumulationsrate a_c verkleinert wird, also das Tempo der Akkumulation verlangsamt wird, oder
2. dass das konstante Kapital entwertet wird, wodurch wiederum auch die Akkumulationsrate a_c kleiner wird;
3. dass die Arbeitskraft entwertet, also der Lohn gedrückt wird, somit die Akkumulationsrate des variablen Kapitals a_v kleiner, daher die Mehrwertrate m größer wird;
4. endlich durch den Kapitalexport, wodurch wiederum die Akkumulationsrate a_c kleiner wird.

Aus diesen vier Hauptfällen lassen sich alle übrigen Variationen ableiten, die in der empirischen Wirklichkeit vorkommen und der kapitalistischen Produktionsweise eine gewisse Elastizität verleihen.

Im restlichen Buch widmet sich Grossmann der Untersuchung dieser „Elastizitäten“ oder gegenwirkenden Tendenzen. Hier seien genannt:

1. Kriege zerstören Kapitalwerte.
2. Die 'Reservearmee' (Arbeitslosigkeit) nimmt zu und übt so Druck auf die Löhne nach unten aus.
3. Imperialismus

Statt Unternehmerkonsum …

Grossmann beginnt seinen Rechnung damit, dass der in einer Periode geschaffene Mehrwert aufgeteilt wird in

• zusätzliches variables Kapital, für die zusätzliche Beschäftigung in der nächsten Periode
• zusätzliches konstantes Kapital und
• Konsumausgaben der Kapitalisten.

Der Mehrwert wird dabei genutzt um von Periode zu Periode mehr Arbeiter zu beschäftigen, ein Teil des Mehrwerts dient also dazu, die Ausgaben für das variable Kapital v zu erhöhen. Ein anderer Teil des Mehrwerts dient dazu, die Ausgaben für das konstante Kapital c zu erhöhen, und der verbleibende Teil des Mehrwerts dient der Finanzierung der Konsumsausgaben der Kapitalisten.

Wegen der steigenden Zusammensetzung des Kapitals nehmen die Ausgaben für konstantes Kapital rascher zu als die Ausgaben des variablen Kapitals und auch als der Neuwert insgesamt. Das bedeutet, dass der Anteil der Konsumausgaben der Kapitalisten am Neuwert abnimmt, allerdings nimmt er anfangs noch absolut zu. Schließlich wird aber ein Zeitpunkt erreicht, wo die Konsumausgaben auch absolut zu sinken anfangen (erster Krisenpunkt). Schließlich gehen die Konsumausgaben gegen null. Jetzt könnten die Ausgaben für konstantes Kapital nur noch zu Lasten des variablen Kapitals gesteigert werden, das bedeutet aber zu Lasten der Beschäftigung. Selbst wenn die Unternehmen ihre Investitionspläne bezüglich des konstanten Kapitals noch befriedigten, hätten sie nicht mehr genügend Kapital übrig, um die erforderliche Beschäftigung zu bezahlen. Im Ergebnis käme es auf der einen Seite zu Arbeitslosigkeit, auf der anderen Seite zu brachliegenden Kapitalanlagen, wie es Marx im fünfzehnten Kapitel von Band III von Das Kapital geschildert hat.

… Erweiterungsinvestitionen

Kritiker stören sich an der Kategorie „Unternehmerkonsum“. In marxistischen Modellen wird oft vom Unternehmerkonsum „abstrahiert“. Die Begründung ist, dass im Vergleich zu den riesigen Einnahmen der Kapitalisten ihre sicherlich beträchtlichen Ausgaben für Luxuskonsum nicht ins Gewicht fallen, so dass sie vernachlässigt werden können, soll die Wirtschaft beschrieben werden, zumal die Konkurrenz die Kapitalisten zwingt, ihre Einnahmen in erster Linie zu investieren, nicht zu konsumieren.

Man kann das Modell aber abwandeln, indem man annimmt, dass der überschüssige Mehrwert nicht der Finanzierung des Konsums dient, sondern dem Einsatz zusätzlicher Beschäftigung. Ein Teil des Mehrwerts dient dann dazu, in der nächsten Periode je Arbeiter mehr in konstantes Kapital zu investieren, der restliche Teil dient dazu, mehr Arbeiter zu beschäftigen. Wegen der steigenden Zusammensetzung des Kapitals wird immer mehr in konstantes Kapital je Arbeiter investiert, immer weniger in zusätzliche Beschäftigung.