In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle F}$ ein reell quadratischer Zahlkörper, also ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})}$ für eine quadratfreie natürliche Zahl ${\displaystyle a}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}\subset F}$ der Ganzheitsring von ${\displaystyle F}$, also ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} \left[x_{a}\right]}$ mit ${\displaystyle x_{a}={\sqrt {a}}}$ falls ${\displaystyle a}$ kongruent 2 oder 3 mod 4 und ${\displaystyle x_{a}={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}}$ falls ${\displaystyle a}$ kongruent 1 mod 4.

Seien ${\displaystyle \left\{\sigma _{+},\sigma _{-}:{\mathcal {O}}_{F}\rightarrow \mathbb {R} \right\}}$ die Einbettungen von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$, also

${\displaystyle \sigma _{\pm }(m+nx_{a})=m\pm nx_{a}}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

Die Abbildungen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}\sigma _{\pm }(a_{11})&\sigma _{\pm }(a_{12})\\\sigma _{\pm }(a_{21})&\sigma _{\pm }(a_{22})\end{pmatrix}}}$ definieren Einbettungen ${\displaystyle \sigma _{\pm }:SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )}$.

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ unter der Einbettung

${\displaystyle (\sigma _{+},\sigma _{-}):SL(2,{\mathcal {O}}_{F})\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$ wirkt ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ dann auf ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2}}$, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum ${\displaystyle \Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})}$ Hilbertsche Modulfläche und ${\displaystyle \Gamma }$ Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,{\mathcal {O}}_{F})}$ torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche ${\displaystyle \Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {H} ^{2})}$ ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.

Zahlentheorie

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers ${\displaystyle F}$. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von ${\displaystyle F}$. Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist ${\displaystyle 2\zeta _{F}(-1)}$, wobei ${\displaystyle \zeta _{F}}$ die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers ${\displaystyle F}$ bezeichnet.

Quellen

1. ↑ Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)
2. ↑ Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
3. ↑ Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2