Holonome Zwangsbedingungen

Holonome Zwangsbedingungen können als Gleichungen zwischen den Koordinaten ${\displaystyle x_{i}}$ des Systems formuliert werden (${\displaystyle s}$: Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen):

${\displaystyle f_{l}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{3N},t)=0\quad \mathrm {mit} \;l=1,\ldots ,s}$

Die ${\displaystyle 3N}$ Koordinaten lassen sich mit ${\displaystyle s}$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen auf ${\displaystyle n=3N-s}$ unabhängige generalisierte Koordinaten ${\displaystyle q_{i}}$ reduzieren, die automatisch die Zwangsbedingungen erfüllen müssen:

${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)\quad \mathrm {mit} \;i=1,\ldots ,3N\;\mathrm {und} \;n=3N-s}$

${\displaystyle \Rightarrow f_{l}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)=0\quad \mathrm {mit} \;l=1,\ldots ,s\;\mathrm {und} \;n=3N-s}$

Holonome Zwangsbedingungen sind mit dem vollständigen Differential einer Funktion darstellbar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{3N}}}\mathrm {d} x_{3N}+{\frac {\partial f_{l}}{\partial t}}\mathrm {d} t&=0\\\Leftrightarrow a_{l1}\cdot \mathrm {d} x_{1}+a_{l2}\cdot \mathrm {d} x_{2}+\ldots +a_{l,3N}\cdot \mathrm {d} x_{3N}+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t&=0\end{aligned}}}$

und somit integrierbar.

Denn notwendig für die Integrabilität ist, dass die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{li}}$ folgende Integrabilitätsbedingung erfüllen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial a_{li}}{\partial x_{k}}}&={\frac {\partial a_{lk}}{\partial x_{i}}}\\\Leftrightarrow {\frac {\partial ^{2}f_{l}}{\partial x_{i}\,\partial x_{k}}}&={\frac {\partial ^{2}f_{l}}{\partial x_{k}\,\partial x_{i}}}\quad \quad i,k\in \{1,\ldots ,3N\},\end{aligned}}}$

was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben ist (${\displaystyle f_{l}}$ zweimal stetig differenzierbar, siehe Satz von Schwarz).

Das vollständige Differential läuft darauf hinaus, dass jede holonome Zwangsbedingung als eine Gleichung der Geschwindigkeiten darstellbar ist:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}&a_{l1}\cdot \mathrm {d} x_{1}&&+a_{l2}\cdot \mathrm {d} x_{2}+\ldots &&&+a_{l,3N}\cdot \mathrm {d} x_{3N}&&&&+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t&&&&&=0\\\Leftrightarrow &a_{l1}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}&&+a_{l2}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}+\ldots &&&+a_{l,3N}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{3N}}{\mathrm {d} t}}&&&&+a_{lt}&&&&&=0\end{alignedat}}}$

Anholonome Zwangsbedingungen

Nicht-holonome oder auch anholonome Zwangsbedingungen können nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden. Die generalisierten Koordinaten, die in solchen anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen, sind i. A. nicht unabhängig voneinander variierbar.

Es handelt sich z. B. um Ungleichungen, wie Beschränkungen auf einen bestimmten Raumbereich:

${\displaystyle \,f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n},t)>0}$

oder um differentielle, nicht-integrable Zwangsbedingungen, wie Gleichungen zwischen den Geschwindigkeiten (Bsp. für ${\displaystyle r}$ anholonome Zwangsbedingungen):

${\displaystyle \sum _{i}a_{li}\cdot \mathrm {d} q_{i}+a_{lt}\cdot \mathrm {d} t=0\ ,\quad l=1,\ldots ,r}$

Nicht-integrabel heißt dabei, dass die Gleichung – anders als bei holonomen Zwangsbedingungen – nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar ist. Somit wird hier die Integrabilitätsbedingung von den Koeffizientenfunktionen nicht erfüllt:

${\displaystyle {\frac {\partial a_{li}}{\partial q_{k}}}\neq {\frac {\partial a_{lk}}{\partial q_{i}}}\quad \quad i,k\in \{1,\ldots ,n\}}$