Anwendung (Verkettung)

Hängen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ von einer Größe ${\displaystyle t}$ ab (zum Beispiel wenn sie die Bahn eines Punktes in der Ebene in Abhängigkeit von der Zeit ${\displaystyle t}$ beschreiben), sind also Funktionen ${\displaystyle g\colon t\mapsto x}$ und ${\displaystyle h\colon t\mapsto y}$ gegeben, so kann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

${\displaystyle t\mapsto f(x,y)=f(g(t),h(t))}$

wie folgt berechnet werden:

Die Ableitungen von ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ lassen sich schreiben als ${\displaystyle \mathrm {d} x=g'\,\mathrm {d} t\Leftrightarrow g'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} y=h'\,\mathrm {d} t\Leftrightarrow h'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}}$.

Einsetzen in das totale Differential liefert:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} f=\mathrm {d} f(g(t),h(t))&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,g'\mathrm {d} t+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,h'\mathrm {d} t\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,g'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,h'\right)\,\mathrm {d} t\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\dot {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\dot {y}}\right)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Die letzte Zeile ist die in der Physik übliche Schreibweise.

Division durch ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ liefert:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(g(t),h(t))&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,g'&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,h'\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\dot {x}}&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\dot {y}}.\end{alignedat}}}$

Mathematisch ist dies eine Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel (siehe unten).

Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik

In der Mechanik werden typischerweise Situationen behandelt, in denen die Funktion ${\displaystyle f}$ nicht nur von den Ortskoordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ abhängt, sondern auch von der Zeit. Wie oben wird der Fall betrachtet, dass ${\displaystyle x=g(t)}$ und ${\displaystyle y=h(t)}$ die Ortskoordinaten eines sich bewegenden Punktes sind. In dieser Situation hängt die zusammengesetzte Funktion

${\displaystyle t\mapsto f(t,g(t),h(t))}$

in doppelter Weise von der Zeit ${\displaystyle t}$ ab:

1. Dadurch, dass ${\displaystyle f}$ selbst in der ersten Variablen von ${\displaystyle t}$ abhängt. Diese Zeitabhängigkeit nennt man explizit.
2. Dadurch, dass die Ortskoordinaten ${\displaystyle x=g(t)}$ und ${\displaystyle y=h(t)}$ von ${\displaystyle t}$ abhängen. Diese Zeitabhängigkeit nennt man implizit.

Man spricht nun von der partiellen Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach der Zeit, wenn man die partielle Ableitung der ersten Funktion meint, also

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x,y)}$

bei festen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Hier wird also nur die explizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Hingegen spricht man von der totalen Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach der Zeit, wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion meint, also

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t,g(t),h(t)).}$

Die beiden hängen wie folgt zusammen:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f({\color {Blue}t},g(t),h(t))&={\color {Blue}{\frac {\partial f}{\partial t}}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,g'&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,h'\\&={\color {Blue}{\frac {\partial f}{\partial t}}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\&={\color {Blue}{\frac {\partial f}{\partial t}}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,{\dot {x}}&&+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,{\dot {y}}\end{alignedat}}}$

Hier werden also die explizite und die implizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt (Terme aus der expliziten Zeitabhängigkeit, die gegenüber dem allgemeinen Gebrauch der totalen Zeitableitung hinzugekommen sind, wurden hier blau markiert).

Reeller Vektorraum

Für den Fall, dass ${\displaystyle M}$ eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist und ${\displaystyle f}$ eine differenzierbare Funktion von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ist zu jedem Punkt ${\displaystyle p\in M}$ das totale Differential ${\displaystyle {\rm {d}}f(p)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine lineare Abbildung, die jedem Vektor ${\displaystyle v=(v^{1},\dots ,v^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet, also

${\displaystyle {\rm {d}}f({p})\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \,,\ {v}\mapsto \partial _{v}f({p})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}({p})\,v^{i}}$.

Da das totale Differential ${\displaystyle {\rm {d}}f(p)}$ eine lineare Abbildung nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, also eine Linearform, lässt es sich in folgender Form schreiben

${\displaystyle {\rm {d}}f(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)\,{\rm {d}}x^{i}}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {d}}x^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ die Linearform ist, die einem Vektor ${\displaystyle v=(v^{1},\dots ,v^{n})}$ seine ${\displaystyle i}$-te Komponente ${\displaystyle v^{i}}$ zuordnet, das heißt ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}(v)=\mathrm {d} x^{i}(v^{1},\dots ,v^{n})=v^{i}}$ (duale Basis).

Unter Zuhilfenahme des Gradienten lässt sich das totale Differential auch wie folgt schreiben:

${\displaystyle [{\rm {d}}f(p)](v)=\nabla f(p)\cdot v=\operatorname {grad} (f)\cdot v}$,

wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt steht.

Mannigfaltigkeit

Für den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt ${\displaystyle p\in M}$ das totale Differential ${\displaystyle {\rm {d}}f(p)\colon T_{p}M\to \mathbb {R} }$ eine lineare Abbildung, die jeder Tangentialrichtung ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ die Richtungsableitung in diese Richtung zuordnet. Ist ${\displaystyle v={\dot {\gamma }}(0)}$ der Tangentialvektor einer Kurve ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$, so ist

${\displaystyle [{\rm {d}}f(p)](v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(f\circ \gamma (t)\right){\Big |}_{t=0}\ .}$

Das totale Differential ${\displaystyle {\rm {d}}f(p)}$ ist somit ein Element des Kotangentialraums ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ von ${\displaystyle M}$ am Punkt ${\displaystyle p}$.

Für eine Darstellung von ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ in Koordinaten betrachte man eine Karte ${\displaystyle y\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ einer Umgebung ${\displaystyle U}$ des Punkts ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle y(p)=0}$. Mit ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ werde die Standardbasis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Die ${\displaystyle n}$ verschiedenen Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}(t):=y^{-1}(t\cdot e_{i})}$ repräsentieren eine Basis ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{1}(0),\dots ,{\dot {\gamma }}_{n}(0)}$ des Tangentialraums ${\displaystyle T_{p}M}$ und mittels

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(f\circ \gamma _{i}(t)\right){\Big |}_{t=0}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f\circ y^{-1})(0)}$

erhält man die partiellen Ableitungen. Analog zum reellen Vektorraum gilt dann

${\displaystyle {\rm {d}}f(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)\,\mathrm {d} y^{i}}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {d}}y^{i}\colon T_{p}M\to \mathbb {R} }$ das totale Differential der Funktion ${\displaystyle y^{i}\colon U\to \mathbb {R} }$ ist, also das Element aus dem Kotangentialraum ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$, das dual zum Basisvektor ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{i}(0)}$ ist.

Betrachtet man Tangentialvektoren ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ als Derivationen, so gilt ${\displaystyle [{\rm {d}}f(p)](v)=v(f)}$.

Kettenregel

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine differenzierbare Funktion und ist ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),\dots ,g_{n}(t))}$ ein differenzierbarer Weg (zum Beispiel die Beschreibung eines sich bewegenden Punktes), so gilt für die Ableitung der verketteten Funktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(f\circ g)(t)&=[df(g(t))](g'(t))=\nabla f(g(t))\cdot g'(t)=\operatorname {grad} \,f(g(t))\cdot g'(t)\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(g(t))g_{1}'(t)+\dots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(g(t))g_{n}'(t)\end{aligned}}}$

Die analoge Aussage gilt für Mannigfaltigkeiten.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Betrachtet man ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ und eine beliebige ${\displaystyle 1}$-Form ${\displaystyle A=f{\rm {d}}x}$. Dann gilt aus Dimensionsgründen immer ${\displaystyle {\rm {d}}A=0}$ und die für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gültige Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit gibt es eine Funktion ${\displaystyle F,}$ die die Gleichung ${\displaystyle {\rm {d}}F=f\,{\rm {d}}x}$ bzw. ${\displaystyle F'=f}$ erfüllt. Dies ist gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen.