Aussage

Ist ${\displaystyle f\colon \left(G,\circ \right)\to \left(H,\star \right)}$ ein Gruppenhomomorphismus, dann ist der Kern ${\displaystyle N\colon =\ker \left(f\right)}$ ein Normalteiler von ${\displaystyle G}$ und die Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ ist isomorph zum Bild ${\displaystyle f\left(G\right)}$. Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon G/N\rightarrow f(G);gN\mapsto f\left(g\right)}$.

Beweis

Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ein Gruppenisomorphismus ist.

${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ist wohldefiniert und injektiv, da

${\displaystyle aN=bN\Leftrightarrow b^{-1}a\in N\Leftrightarrow f(b^{-1}a)=e\Leftrightarrow {\tilde {f}}(aN)=f(a)=f(b)={\tilde {f}}(bN)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ist ein Gruppenhomomorphismus, da für alle Nebenklassen ${\displaystyle aN}$ und ${\displaystyle bN}$ gilt:

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(aN\circ bN\right)={\tilde {f}}\left(abN\right)=f(ab)=f(a)\star f(b)={\tilde {f}}(aN)\star {\tilde {f}}(bN)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}}$ surjektiv, da für jedes ${\displaystyle g\colon =f\left(g'\right)\in f\left(G\right)}$ gilt: ${\displaystyle {\tilde {f}}\left(g'N\right)=f\left(g'\right)=g}$.

Hieraus folgt, dass ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon G/N\rightarrow f(G)}$ ein Gruppenisomorphismus ist, und somit ${\displaystyle G/N\cong f\left(G\right)}$.

Beispiele

• Es stehe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ für die allgemeine lineare Gruppe, dargestellt durch reguläre Matrizen über einem Körper ${\displaystyle K}$. Die Determinante

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}=K\setminus \{0\}}$

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Determinante ${\displaystyle 1}$ besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)\cong K^{*}}$.

Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ die Faktorgruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)}$ abelsch ist.

• Analog zeigt man:

${\displaystyle \operatorname {O} (n,K)/\operatorname {SO} (n,K)\cong \left\{-1,1\right\}}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {O} (n,K)}$ für die orthogonale Gruppe und ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,K)}$ für die spezielle orthogonale Gruppe steht.

• Es stehe ${\displaystyle S_{n}}$ für die symmetrische Gruppe. Die Signum-Abbildung ${\displaystyle \operatorname {sign} \colon S_{n}\to \left\{-1,1\right\}}$ definiert einen Gruppenhomomorphismus mit ${\displaystyle \operatorname {ker} \left(\operatorname {sign} \right)=\operatorname {Alt} _{n}}$ (alternierende Gruppe), der für ${\displaystyle n\geq 2}$ surjektiv ist. Nach dem Homomorphiesatz gilt also für ${\displaystyle n\geq 2}$:

  ${\displaystyle S_{n}/\operatorname {Alt} _{n}\cong \left\{-1,1\right\}}$

Aussage

Ist ${\displaystyle f}$ ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. eine lineare Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$, dann ist der Kern ${\displaystyle \ker(f)}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ und der Faktorraum ${\displaystyle V/{\ker(f)}}$ ist isomorph zum Bild ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$.

Beispiel

Der Differentialoperator

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon \ C^{1}(\mathbb {R} )\rightarrow C^{0}(\mathbb {R} ),\quad f(x)\mapsto {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=f'(x)}$

ist ein Homomorphismus vom Vektorraum der auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )}$ in den Vektorraum der auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stetigen Funktionen ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$. Sein Kern ist die Menge der konstanten Funktionen, die hier als ${\displaystyle \mathbb {R} }$ notiert wird. Nach dem Homomorphiesatz gilt

${\displaystyle C^{1}(\mathbb {R} )/\mathbb {R} \cong C^{0}(\mathbb {R} )}$

Der Isomorphismus ist dabei der induzierte Homomorphismus

${\displaystyle {\widetilde {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}:C^{1}(\mathbb {R} )/\mathbb {R} \rightarrow C^{0}(\mathbb {R} ),\quad f(x)+\mathbb {R} \mapsto f'(x)}$.

Sein inverser Homomorphismus ist die unbestimmte Integration

${\displaystyle \int \cdot \,\,\mathrm {d} x\colon \ C^{0}(\mathbb {R} )\rightarrow C^{1}(\mathbb {R} )/\mathbb {R} ,\quad g(x)\mapsto \int g(x){\mathrm {d} }x=G(x)+\mathbb {R} ,}$

wobei ${\displaystyle G(x)}$ eine beliebige Stammfunktion von ${\displaystyle g(x)}$ ist.