Eine hyperelliptische Kurve ist eine algebraische Varietät, das heißt, eine Menge von Punkten aus einem Körper, die eine Polynomgleichung sowie einige Nebenbedingungen erfüllen.

Sie werden ähnlich konstruiert wie Elliptische Kurven. Hyperelliptische Kurven spielen in der Kryptographie im Gegensatz zu diesen noch keine allzu große, jedoch zunehmende Rolle. Ihre Eigenschaften sind noch nicht weitgehend genug erforscht, um deren gesteigerte Nutzbarkeit für die Kryptographie abschätzen zu können. Zudem ist die Rechnung in hyperelliptischen Kurven komplizierter als in elliptischen Kurven, so dass deren derzeitige praktische Anwendung noch nicht nützlich erscheint.

Definition

Eine hyperelliptische Kurve ist die Lösung eines Polynoms

${\displaystyle y^{2}=f(x)}$,

wobei ${\displaystyle f(x)}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n>4}$ mit ${\displaystyle n}$ paarweise verschiedenen Wurzeln ist. Bei den ähnlich konstruierten elliptischen Kurven ist dagegen ${\displaystyle n=3}$.

Das Geschlecht ${\displaystyle g}$ wird durch den Grad des Polynoms bestimmt, für ${\displaystyle n=2g+1}$ oder ${\displaystyle n=2g+2}$ hat sie das Geschlecht ${\displaystyle g}$. Daraus folgt, dass das Geschlecht ${\displaystyle g>1}$ ist (der Fall ${\displaystyle g=1}$ entspricht elliptischen Kurven). Der Fall ${\displaystyle 2g+1}$ heißt imaginäre hyperelliptische Kurve, der Fall ${\displaystyle 2g+2}$ reelle hyperelliptische Kurve. Häufig werden sie für ungeraden Grad ${\displaystyle n}$ definiert, da der benachbarte gerade Fall ${\displaystyle n+1}$ auf den Fall ${\displaystyle n}$ reduziert werden kann.

Die Kurve hat in dieser Form einen singulären Punkt im Unendlichen, der durch Übergang zu einem nicht-singulären Modell in der birationalen Geometrie vermieden wird.

Neben der Betrachtung über den reellen und komplexen Zahlen werden sie auch über endlichen Körpern und den rationalen Zahlen im Rahmen der Zahlentheorie betrachtet. Da das Geschlecht größer 1 ist, haben sie nur endlich viele Punkte über den rationalen Zahlen (Vermutung von Mordell/Satz von Faltings).

Der Funktionenkörper einer hyperelliptischen Kurve (der Körper der hyperelliptischen Funktionen) ist eine quadratische Erweiterung des Körpers der rationalen Funktionen.

Hyperelliptische Kurven über einem endlichen Körper

Hier wird eine etwas andere Definition benutzt. Dabei werden auch elliptische Kurven als Kurven vom Geschlecht g=1 mit betrachtet, was sonst nicht üblich ist.

Sei ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ (wobei ${\displaystyle q}$ eine Primzahlpotenz) ein endlicher Körper und sei ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{q}}$ der algebraische Abschluss von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\mathbb {F}}_{{q}} . Eine hyperelliptische Kurve ${\displaystyle C}$ mit Geschlecht ${\displaystyle g}$ über ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle (g\geq 1)}$ ist eine Gleichung der Form

${\displaystyle C}$: ${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x,y]}$.

Außerdem gibt es keine Lösung ${\displaystyle (x,y)\in {\overline {\mathbb {F} }}_{q}\times {\overline {\mathbb {F} }}_{q}}$, welche die Gleichungen

${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$,

${\displaystyle 2y+h(x)=0}$ (partielle Ableitung nach ${\displaystyle y}$),

${\displaystyle h'(x)y-f'(x)=0}$ (partielle Ableitung nach ${\displaystyle x}$)

erfüllt (das heißt, es werden nur nicht-singuläre Lösungen betrachtet).

Außerdem werden hyperelliptische Kurven in zwei Modelle unterschieden:

Imaginäres Modell: ${\displaystyle f}$ ist normiert und vom Grad ${\displaystyle 2g+1}$ und ${\displaystyle h(u)}$ vom Grad höchstens ${\displaystyle g}$

Reales Modell: ${\displaystyle h=0}$ oder ${\displaystyle h}$ ist normiert und vom Grad ${\displaystyle g+1}$. Wenn ${\displaystyle q}$ ungerade ist, dann ist ${\displaystyle f}$ normiert und vom Grad ${\displaystyle 2g+2}$. Wenn ${\displaystyle q}$ gerade ist, dann ist ${\displaystyle f}$ entweder vom Grad kleiner gleich ${\displaystyle 2g+1}$ oder vom Grad ${\displaystyle 2g+2}$ und der führende Koeffizient von ${\displaystyle f}$ ist von der Form ${\displaystyle x^{2}+x}$ für ein ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}\setminus \{0\}}$.

Eine hyperelliptische Involution eines Punktes ${\displaystyle P=(x,y)}$ wird als ${\displaystyle -P=(x,-y-h(x))}$ definiert. Punkte, die dabei invariant sind, heißen Weierstraß-Punkte.

Konstruktion einer Gruppe auf Hyperelliptischen Kurven

Literatur

• Cohen, Henry und Frey, Gerhard: Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography, Chapman & Hall, Taylor & Francis Group 2006
• Koblitz, Neal: Algebraic Aspects of Cryptography, Algorithms an Computation in Mathematics, Springer 1997

Weblinks

• Menezes, An elementary introduction to hyperelliptic curves, University of Waterloo (PDF; 284 kB)
• Hyperelliptic Curve, Mathworld

Einzelnachweise

1. ↑ Hyper-elliptic curve, Encyclopedia of Mathematics, Springer
2. ↑ Sylvain Duquesne, Tanja Lange, Arithmetic of hyperelliptic curves, Kapitel 14 in Cohen, Frey, Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography, Chapman & Hall, Taylor & Francis Group 2006, S. 303ff