Eine indirekte Nutzenfunktion ist eine in der Mikroökonomik verwendete Funktion, die das maximale Nutzenniveau angibt, das ein Konsument bei gegebenen Güterpreisen und mit gegebenem Budget erreichen kann. Damit unterscheidet sie sich von der (direkten) Nutzenfunktion eines Konsumenten, die allgemein für bestimmte Gütermengen definiert ist.

Definition und Bedeutung

Der Ausgangspunkt für die Herleitung der indirekten Nutzenfunktion ist derselbe wie der zur Herleitung der marshallschen Nachfrage. Er besteht im Nutzenmaximierungsproblem

${\displaystyle \max _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq y}$

(Details hierzu finden sich im Artikel Marshallsche Nachfragefunktion.) Eine Lösung dieses mittels der Kuhn-Tucker-Methode lösbaren Optimierungsproblems bezeichnet man als marshallsche Nachfrage ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}$, wobei ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ der Vektor der nachgefragten Gütermengen (${\displaystyle x_{i}\geq 0}$), ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ der dazugehörige Preisvektor und ${\displaystyle y}$ das verfügbare Konsumbudget ist. In Worten handelt es sich bei dieser Nachfrage also um diejenige Gütermenge – abhängig von den Güterpreisen –, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Budget ${\displaystyle y}$ ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen. Setzt man die marshallsche Nachfrage ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}$ nun wieder in die maximierte Funktion ein, so bezeichnet man die resultierende Funktion als indirekte Nutzenfunktion ${\displaystyle v}$. Es ist also

${\displaystyle v(\mathbf {p} ,y)\equiv u\left[x_{1}(\mathbf {p} ,y),\ldots ,x_{n}(\mathbf {p} ,y)\right]{\overset {\mathrm {(vektoriell)} }{=}}u\left[\mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)\right]}$.

Während die marshallsche Nachfragefunktion die Gütermengen liefert, die im Nutzenmaximum nachgefragt werden, liefert die indirekte Nutzenfunktion das Nutzenniveau, das im Maximum erreicht wird; mit anderen Worten ist ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)}$ das Argument des Maximums, während ${\displaystyle v}$ das tatsächliche Maximum liefert.

Eigenschaften

Es lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,y)}$ unter den üblichen Voraussetzungen – ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig und streng monoton steigend – unter anderem folgende Eigenschaften aufweist:

• stetig in ${\displaystyle \mathbf {p} }$ und ${\displaystyle y}$;
• homogen vom Grade null in ${\displaystyle (\mathbf {p} ,y)}$, d. h. ${\displaystyle v(\alpha \mathbf {p} ,\alpha y)=v(\mathbf {p} ,y)}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {p} ,y}$ und ${\displaystyle \alpha >0}$;
• streng monoton steigend in ${\displaystyle y}$ und monoton fallend in ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (für positives ${\displaystyle y}$);
• quasi-konvex in ${\displaystyle (\mathbf {p} ,y)}$.

Zudem gilt unter der genannten Voraussetzung bezüglich u (und auch bereits, wenn u nur der schwächeren Annahme der lokalen Nichtsättigung genügt):

(Jackson 1986): Für alle Güterbündel ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}$ gilt: Betrachte ein Nutzenniveau ${\displaystyle {\overline {u}}\geq 0}$ und ein ${\displaystyle \epsilon >0}$, die so beschaffen sind, dass ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,\mathbf {p} \cdot {\tilde {\mathbf {x} }})\geq {\overline {u}}+\epsilon }$ für alle möglichen Preisvektoren ${\displaystyle \mathbf {p} }$ mit strikt positiven Komponenten. Dann existiert ein ${\displaystyle \delta \in (0,1)}$, mit dem ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,\delta \cdot \mathbf {p} \cdot {\tilde {\mathbf {x} }})>{\overline {u}}}$ für alle ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Für die Differenzierbarkeit lässt sich (unter den genannten Voraussetzungen bezüglich u) auf folgende Bedingung verweisen:

Sei ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ darüber hinaus stetig differenzierbar. Wenn das Nutzenmaximierungsproblem (siehe oben) in einer offenen Umgebung um ${\displaystyle (\mathbf {p} _{0},y_{0})}$ (${\displaystyle y_{0}>0}$) eine eindeutige Lösung hat, dann ist die indirekte Nutzenfunktion ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,y)}$ in dieser Umgebung differenzierbar in ${\displaystyle (\mathbf {p} ,y)}$.

Einordnung

Beispiel

Für ein Beispiel zur Konstruktion einer indirekten Nutzenfunktion wird auf den Artikel Marshallsche Nachfragefunktion verwiesen.

Literatur

• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.

Anmerkungen

1. ↑ Vgl. hierfür weitgehend Jehle/Reny 2011, S. 29 ff. Einige der Eigenschaften folgen auch schon unter der schwächeren Annahme der lokalen Nichtsättigung der zugrunde liegenden Präferenz-Indifferenz-Relation ${\displaystyle R}$. Hierzu Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59. (Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges ${\displaystyle x_{a}\in X}$ und für jede ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\epsilon }}$ um ${\displaystyle x_{a}}$ ein ${\displaystyle z\in U_{\epsilon }}$ existiert, mit dem ${\displaystyle zPx_{a}}$. Vgl. der Artikel Präferenzordnung.)
2. ↑ Vgl. Kreps 2012, S. 274.
3. ↑ Matthew O. Jackson: Continuous utility functions in consumer theory. A set of duality theorems. In: Journal of Mathematical Economics. 15, Nr. 1, 1986, S. 63–77, doi:10.1016/0304-4068(86)90024-8.
4. ↑ Vgl. Kreps 2012, S. 262.
5. ↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 27 ff.
6. ↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 29; mit leicht schwächeren Annahmen Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 73 f.