Über Niveaumengen

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon S\to \mathbb {R} }$, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

• quasikonvex, wenn jede Subniveaumenge

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\leq }(c):=\{x\in S\mid f(x)\leq c\}}$

für beliebiges ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ konvex ist.

• quasikonkav, wenn jede Superniveaumenge

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\geq }(c):=\{x\in S\mid f(x)\geq c\}}$

für beliebiges ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ konvex ist. Äquivalent dazu ist, dass ${\displaystyle -f}$ quasikonvex ist.

• quasilinear, wenn sie sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist.

Über Ungleichungen

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon S\to \mathbb {R} }$, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

• quasikonvex, wenn aus ${\displaystyle x,y\in S}$ und ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ folgt, dass

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max\{f(x),f(y)\}.}$

• strikt quasikonvex, wenn

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max\{f(x),f(y)\}}$

für alle ${\displaystyle x\neq y}$ und ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$ gilt.

• quasikonkav, wenn aus ${\displaystyle x,y\in S}$ und ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ folgt, dass

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min\{f(x),f(y)\}.}$

• strikt quasikonkav, wenn

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min\{f(x),f(y)\}}$

für alle ${\displaystyle x\neq y}$ und ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$ gilt.

Äquivalent zur (strikten) Quasikonkavität von ${\displaystyle f}$ ist, dass ${\displaystyle -f}$ (strikt) quasikonvex ist. Die Quasilinearität wird wie oben definiert: Eine Funktion heißt quasilinear, wenn sie quasikonvex und quasikonkav ist.

Punktweise positiv gewichtete Maxima

Sind ${\displaystyle f_{i}}$ quasikonvexe Funktionen und ${\displaystyle w_{i}\geq 0}$ positive reelle Zahlen für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, dann ist auch

${\displaystyle g(x)=\max\{w_{1}f_{1}(x),\dots ,w_{n}f_{n}(x)\}}$

eine quasikonvexe Funktion. Dies folgt aus der der Tatsachen, dass die Subniveaumenge der Funktion ${\displaystyle g}$ genau der Schnitt aller Subniveaumengen der Funktionen ${\displaystyle f_{i}}$ ist. Diese sind aber per Definition konvex und damit ist die Niveaumenge von ${\displaystyle g}$ als Schnitt konvexer Mengen auch konvex.

Punktweises Supremum

Ist ${\displaystyle f(x,y)}$ eine quasikonvexe Funktion in ${\displaystyle x}$ für alle ${\displaystyle y\in D}$ und ist ${\displaystyle w(y)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle y\in D}$, so ist auch

${\displaystyle g(x)=\sup _{y\in D}(w(y)f(x,y))}$

eine quasikonvexe Funktion. Dies lässt sich analog zeigen wie der Fall mit Maxima.

Punktweises Infimum

Ist ${\displaystyle f(x,y)}$ quasikonvex sowohl in ${\displaystyle x}$ als auch in ${\displaystyle y}$ und ist ${\displaystyle y\in C}$ wobei ${\displaystyle C}$ eine konvexe Menge ist, so ist die Funktion

${\displaystyle g(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$

quasikonvex.

Komposition

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ quasikonvex und ist ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine monoton fallende Funktion, so ist ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ eine quasikonvexe Funktion.

Unter Verwendung der ersten Ableitung

Gegeben sei die differenzierbare Funktion ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ konvex. Dann ist die ${\displaystyle f}$ genau dann quasikonvex, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D}$ gilt, dass

${\displaystyle f(y)\leq f(x)\implies \nabla f(x)^{T}(y-x)\leq 0}$.

Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu

${\displaystyle f(y)\leq f(x)\implies f'(x)y\leq f'(x)x}$.

Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.

Im Gegensatz zu konvexen Funktionen folgt bei quasikonvexen Funktionen aus ${\displaystyle \nabla f({\tilde {x}})=0}$ bzw. ${\displaystyle f'({\tilde {x}})=0}$ im Allgemeinen nicht, dass ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ein Minimum ist. Beispiel dafür ist die Funktion

${\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)+\pi x}$.

Sie ist quasikonvex, da monoton wachsend. Ihre Ableitung verschwindet unendlich oft, aber sie besitzt kein Minimum.

Unter Verwendung der zweiten Ableitung

Ist die Funktion ${\displaystyle f}$ zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle ${\displaystyle x\in D}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, dass aus ${\displaystyle y^{T}\nabla f(x)=0}$ folgt, dass ${\displaystyle y^{T}\nabla ^{2}f(x)y\geq 0}$. Im Falle einer Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vereinfacht sich dies zu ${\displaystyle f'(x)=0\implies f''(x)\geq 0}$