Die kleine induktive Dimension

Die kleine induktive Dimension ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\,}$ eines topologischen Raums ${\displaystyle X}$ ist wie folgt definiert:

• ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)=-1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle X=\emptyset }$.
• ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq n}$, falls es zu jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ und jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle x}$ gibt mit ${\displaystyle {\overline {V}}\subset U}$ und ${\displaystyle \mathrm {ind} (\partial V)\leq n-1}$.

Damit ist erklärt, was ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq n}$ bedeutet. Man definiert weiter:

• ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\,=\,n}$, falls ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq n}$ und nicht ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq n-1}$
• ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\,=\,\infty }$, falls für kein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Ungleichung ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq n}$ gilt.

Die große induktive Dimension

Ersetzt man den Punkt ${\displaystyle x\in X}$ aus der Definition der kleinen induktiven Dimension durch eine beliebige abgeschlossene Menge, so erhält man den Begriff der großen induktiven Dimension. Genauer: Die große induktive Dimension ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\,}$ eines topologischen Raums ${\displaystyle X}$ ist wie folgt definiert:

• ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=-1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle X=\emptyset }$.
• ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq n}$, falls es zu jeder abgeschlossenen Menge ${\displaystyle A\subset X}$ und jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle A}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle A}$ gibt mit ${\displaystyle {\overline {V}}\subset U}$ und ${\displaystyle \mathrm {Ind} (\partial V)\leq n-1}$.

Damit ist erklärt, was ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq n}$ bedeutet. Man definiert weiter:

• ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\,=\,n}$, falls ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq n}$ und nicht ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq n-1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\,=\,\infty }$, falls für kein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Ungleichung ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq n}$ gilt.

Vergleiche

Ist ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum, so gilt nach einem Satz von M. Katětov

${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\leq \mathrm {Ind} (X)\leq \mathrm {dim} (X)}$.

Ein Satz von P. S. Alexandrow besagt für kompakte Hausdorffräume:

${\displaystyle \mathrm {dim} (X)\leq \mathrm {ind} (X)\leq \mathrm {Ind} (X)}$.

Gleichheit hat man für separable metrisierbare Räume:

${\displaystyle \mathrm {ind} (X)\,=\,\mathrm {Ind} (X)\,=\,\mathrm {dim} (X)}$.

K. Nagami hat einen normalen Raum ${\displaystyle X}$ konstruiert, für den ${\displaystyle \mathrm {ind} (X)=0}$, ${\displaystyle \mathrm {dim} (X)=1}$ und ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=2}$ gilt.

Kompaktifizierung

Es bezeichne ${\displaystyle \beta X}$ die Stone-Čech-Kompaktifizierung von ${\displaystyle X}$. Dann gilt

• N. Wendenisow: Ist ${\displaystyle X}$ normal, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=\mathrm {Ind} (\beta X)}$.
• J. R. Isbell: Ist ${\displaystyle X}$ normal, so gilt ${\displaystyle \mathrm {dim} (X)=\mathrm {dim} (\beta X)}$.
• Eine analoge Aussage für die kleine induktive Dimension ist falsch.

Teilmengensatz

${\displaystyle \mathrm {Ind} }$ und ${\displaystyle \mathrm {dim} }$ genügen dem Teilmengensatz für total normale Räume, das heißt

• Ist ${\displaystyle X}$ total normal und ${\displaystyle Y\subset X}$, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (Y)\leq \mathrm {Ind} (X)}$ (bzw. ${\displaystyle \mathrm {dim} (Y)\leq \mathrm {dim} (X)}$).

Summensatz

Die große induktive Dimension genügt dem Summensatz für vollständig normale Räume, das heißt

• C. H. Dowker: Ist ${\displaystyle X}$ vollständig normal und ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge abgeschlossener Mengen mit ${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}}$, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ind} (F_{n})}$.

• Für allgemeine normale Räume gilt der Summensatz weder für ${\displaystyle \mathrm {ind} }$ noch für ${\displaystyle \mathrm {Ind} }$, nicht einmal dann, wenn man sich auf kompakte Hausdorffräume einschränkt.

Produktsatz

Man sagt, dass ein Dimensionsbegriff einen Produktsatz erfüllt, wenn die Dimension des Produktraumes zweier Räume gegen die Summe der Dimensionen dieser beiden Räume abgeschätzt werden kann. Beachte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n+m}}$.

• Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ nicht-leere reguläre Hausdorffräume, so gilt ${\displaystyle \mathrm {ind} (X\times Y)\leq \mathrm {ind} (X)+\mathrm {ind} (Y)}$.
• Sind ${\displaystyle X}$ perfekt normal und ${\displaystyle Y}$ metrisierbar und beide nicht-leer, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X\times Y)\leq \mathrm {Ind} (X)+\mathrm {Ind} (Y)}$.
• Für die Überdeckungsdimension ${\displaystyle \mathrm {dim} }$ gilt eine analoge Aussage, wenn ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ beide metrisierbar sind oder wenn ${\displaystyle X}$ parakompakt und ${\displaystyle Y}$ kompakt sind.