Erster Isomorphiesatz

Es seien ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle N}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$. Dann ist auch das Komplexprodukt ${\displaystyle HN:=\{hn\mid h\in H,n\in N\}}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ ist ein Normalteiler in ${\displaystyle HN}$ und die Gruppe ${\displaystyle H\cap N}$ ist ein Normalteiler in ${\displaystyle H}$. Es gilt:

${\displaystyle H/(H\cap N)\cong HN/N.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \cong }$ die Isomorphie von Gruppen.

Der Isomorphismus, der dabei üblicherweise gemeint ist, wird als kanonischer Isomorphismus bezeichnet. Er wird gemäß dem Homomorphiesatz von der surjektiven Abbildung

${\displaystyle f\colon H\to HN/N,\quad h\mapsto hN,}$

induziert, denn es gilt offenbar

${\displaystyle \operatorname {kern} \left(f\right)=\left\{a\in H\mid aN=N\right\}=\left\{a\in H\mid a\in N\right\}=H\cap N}$.

Aus dem ersten Isomorphiesatz erhält man als Spezialfall die anschauliche Aussage, dass man genau dann mit ${\displaystyle N}$ "erweitern" darf, wenn ${\displaystyle H\cap N=\{0\}}$.

Zweiter Isomorphiesatz

Es seien ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle H}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle N}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle H}$, die Normalteiler in ${\displaystyle G}$ ist. Dann gilt:

${\displaystyle (G/N)/(H/N)\cong G/H.}$

In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben, einerseits induziert durch

${\displaystyle G/N\to G/H,\quad gN\mapsto gH,}$

andererseits durch

${\displaystyle G\to (G/N)/(H/N),\quad g\mapsto gN(H/N).}$

Anschaulich ausgedrückt besagt der zweite Isomorphiesatz, dass man ${\displaystyle N}$ "kürzen" darf.

Erster Isomorphiesatz

Es seien ${\displaystyle R}$ ein Ring, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein Ideal von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ ein Unterring von ${\displaystyle R}$. Dann ist die Summe ${\displaystyle S+{\mathfrak {a}}=\{s+a\mid s\in S,a\in {\mathfrak {a}}\}}$ ein Unterring von ${\displaystyle R}$ und der Schnitt ${\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}}$ ein Ideal von ${\displaystyle S}$. Es gilt:

${\displaystyle S/(S\cap {\mathfrak {a}})\cong (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \cong }$ die Isomorphie von Ringen.

Zweiter Isomorphiesatz

Es seien ${\displaystyle R}$ ein Ring, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ zwei Ideale von ${\displaystyle R}$. Dann ist ${\displaystyle {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}}=\{a+{\mathfrak {b}}\mid a\in {\mathfrak {a}}\}}$ ein Ideal von ${\displaystyle R/{\mathfrak {b}}}$. Es gilt:

${\displaystyle (R/{\mathfrak {b}})/({\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}})\cong R/{\mathfrak {a}}}$