Die Jaco-Shalen-Johannson-Zerlegung, abgekürzt JSJ-Zerlegung, benannt nach William Jaco, Peter Shalen und Klaus Johannson, ist eine Aussage aus der Topologie der 3-Mannigfaltigkeiten.

Aussage

Sie besagt, dass jede irreduzible 3-dimensionale Mannigfaltigkeit eine (bis auf Isotopie) eindeutige Seifert-gefaserte Untermannigfaltigkeit mit atoroidalem Komplement besitzt. Diese wird auch als charakteristische Untermannigfaltigkeit bezeichnet.

Beweis

Der Beweis wurde 1979 von William Jaco und Peter Shalen sowie, unabhängig von diesen, von Klaus Johannson durchgeführt.

Konsequenzen

Die JSJ-Zerlegung ist eine wichtige Voraussetzung für die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Jede Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt sich geometrisieren, und die von Grigori Perelman bewiesene Thurston-Vermutung besagt, dass jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit eine hyperbolische Metrik trägt.

Quellen

  1. ↑ Jaco, William H.; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), no. 220
  2. ↑ Johannson, Klaus, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7
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