Verein

Busk trat in seiner Jugend einem Vorgängerklub des FC Kopenhagen bei; der Klub entstand 1992 aus einer Fusion der ersten Mannschaften von KB Kopenhagen und Boldklubben 1903. 2012 wurde er in den Kader der Profimannschaft des FC Kopenhagen hochgezogen. Am 18. August 2012 stand Busk erstmals im Kader der Profis, wurde beim 1:1 am sechsten Spieltag der Superliga-Spielzeit 2012/13 im Spiel gegen Brøndby IF aber nicht eingesetzt. Am 16. Mai 2013 gab er sein Profidebüt, als er bei der 0:1-Niederlage am 32. Spieltag bei Randers FC in der Anfangsformation stand; er spielte durch. Am Ende der Spielzeit gewann er mit dem FC Kopenhagen die dänische Meisterschaft. Er spielte mit dem FC Kopenhagen in der folgenden Spielzeit in der Champions League, kam allerdings zu keinem Einsatz. In der Liga und im nationalen Pokalwettbewerb kam er zu jeweils drei Einsätzen. Das Pokalfinale verlor man gegen den Aalborg BK.

In der neuen Saison wechselte Busk auf Leihbasis zum Erstligaabsteiger AC Horsens. Am 27. Juli 2014 gab er sein Debüt am ersten Spieltag im Derby gegen Viborg FF. Er erkämpfte sich einen Stammplatz und kam in 17 Hinrundenpartien zum Einsatz.

Zur Rückrunde der Saison 2014/15 kehrte er zunächst zum FC Kopenhagen zurück und unterschrieb am 19. Januar 2015 einen Leihvertrag beim norwegischen Erstligisten Sandefjord Fotball. Am 6. April 2015 gab Busk sein Debüt für seinen neuen Klub beim 3:1-Sieg am ersten Spieltag der Tippeligaen-Ausgabe 2015 gegen FK Bodø/Glimt. Er kam in 14 von 30 Punktspielen zum Einsatz, da er wegen einer Rückenverletzung und seiner Teilnahme an der U21-EM 2015 nicht anwesend war und in einigen anderen Partien nicht im Kader stand. Sein Leihvertrag lief zum Ende des Jahres 2015 aus.

Im Januar 2016 wechselte Busk zum deutschen Zweitligisten 1. FC Union Berlin. und unterschrieb einen Vertrag bis zum 30. Juni 2017. Der Däne war sofort die Nummer 1 im Tor und kam bis zu einer Oberschenkelverletzung im März 2017 auf 37 Pflichtspiele, anschließend verlor er seinen Stammplatz an Daniel Mesenhöler. Zwischenzeitlich wurde der Vertrag bis zum 30. Juni 2020 verlängert. In der Saison 2017/18 stand Busk in weiteren 20 Spielen im Tor, die restlichen Partien absolvierte wieder Mesenhöler. Nach dessen Wechsel wurde Rafał Gikiewicz verpflichtet, den Busk seitdem vertritt. Mitte Mai 2020 erhielt der Torwart eine weitere Verlängerung seines zwischenzeitlich bis Juni 2021 verlängerten Vertrags, der für beide Bundesligen gültig ist. Busk kam bis Mai 2022 zu keinem Einsatz und er sollte den Verein aus Köpenick, einem Stadtteil von Berlin, verlassen, doch er erhielt dann im Juni einen neuen Vertrag.

Nationalmannschaft

Busk ist mehrmaliger dänischer Jugendnationalspieler. Mit der U21-Nationalmannschaft nahm er an der Europameisterschaft 2015 teil und kam mit ihr bis ins Halbfinale, was die Qualifikation für die Olympischen Spiele 2016 in Rio bedeutete. Im Halbfinale der EM schied man gegen den späteren Turniersieger Schweden aus; Busk bestritt alle Partien im Turnier.