Nyquist-Formel

Für hinreichend hohe Frequenzen oder entsprechend niedrige Temperaturen muss die ebenfalls schon von Nyquist angegebene Formel⁠^(*)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u^{2}}}&=4k_{\mathrm {B} }TR\,{\frac {hf/k_{\mathrm {B} }T}{\mathrm {e} ^{hf/k_{\mathrm {B} }T}-1}}\,\Delta f,&0\leqq f<\infty \\&=4k_{\mathrm {B} }TR\,{\frac {f/f_{\mathrm {Q} }}{\mathrm {e} ^{f/f_{\mathrm {Q} }}-1}}\,\Delta f\end{aligned}}}$

verwendet werden. Dabei wurde im zweiten Ausdruck bereits die quantentheoretische Grenzfrequenz benutzt, definiert durch

${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{h}}}$.

Bei Raumtemperatur (300 K) beträgt sie ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }=6{,}25\cdot 10^{12}\,{\text{Hz}}}$.

• Oberhalb ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }}$ ist das thermische Widerstandsrauschen nicht mehr spektral weiß⁠^(**), sondern nimmt mit steigender Frequenz entsprechend dem Boltzmann-Faktor exponentiell ab.
• Für niedrige Frequenzen oder hinreichend hohe Temperatur geht die quantentheoretisch erweiterte Formel erwartungsgemäß in den Niederfrequenzwert ${\displaystyle {\overline {u^{2}}}=4k_{\mathrm {B} }TR\Delta f}$ über.

^(*) 

Hinweis: In Nyquists Originalarbeit fehlt ein Faktor ${\displaystyle \nu }$ in seiner Formel (8). Eine Ableitung auf der Grundlage der Quantenmechanik gaben Callen und Welton. McDonald veröffentlichte eine gründliche Diskussion. Die Nyquist-Formel gilt für elektrische oder mechanische lineare dissipative Systeme.

^(**) 

Das Intervall ${\displaystyle \Delta f}$ muss hinreichend klein gewählt sein, damit in diesem Messintervall die durch den frequenzabhängigen Faktor bewirkten Änderungen bei der gewünschten Genauigkeit vernachlässigt werden dürfen. Bei Nyquist ist seine Formel (4) deshalb ${\displaystyle E_{\nu }^{2}\mathrm {d} \nu =4R_{\nu }k_{\mathrm {B} }T\mathrm {d} \nu }$ differentiell mit dem Spannungsspektrum ${\displaystyle E_{\nu }^{2}}$ (mit Nyquist’s Bezeichnungen) geschrieben, weil realistisch ein frequenzabhängiger Widerstand ${\displaystyle R_{\nu }}$ zugelassen ist; ${\displaystyle E_{\nu }^{2}\mathrm {d} \nu =\mathrm {d} {\overline {u^{2}}}}$. Hier wird durchweg ein frequenzunabhängiger Wirkwiderstand ${\displaystyle R}$ vorausgesetzt.

Nullpunktenergie

Ein Beitrag der Nullpunktenergie zum Wärmerauschen wird gelegentlich zur Diskussion gestellt. Die Nullpunktenergie ist durch die heisenbergsche Unbestimmtheit gefordert und beträgt beim harmonischen Oszillator ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}hf}$. Als vollständig korrigierte quantenmechanische Formel wird

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u^{2}}}&=4k_{\mathrm {B} }TR\left({\frac {hf/k_{\mathrm {B} }T}{\mathrm {e} ^{hf/k_{\mathrm {B} }T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)\Delta f=4k_{\mathrm {B} }TR\,{\frac {{\tfrac {1}{2}}hf/k_{\mathrm {B} }T}{\tanh \left({\frac {1}{2}}{hf/k_{\mathrm {B} }T}\right)}}\,\Delta f,&\mathrm {} 0\leqq f<\infty \\&=4R\left({\frac {hf}{\mathrm {e} ^{hf/k_{\mathrm {B} }T}-1}}+{\frac {1}{2}}hf\right)\Delta f\end{aligned}}}$

häufig vorgeschlagen. Mit dieser Formel würde die Ultraviolett-Katastrophe verstärkt wieder eingeführt.

Die Nullpunktenergie steht für thermische Prozesse wie Wärmerauschen zum Austausch von Energie mit einem Lastwiderstand ${\displaystyle R}$ nicht zur Verfügung. Die letztere, den quantenmechanischen Ansatz ganz unmittelbar ausdrückende Formulierung verlangt offensichtlich, dass die bei hinreichend hohen Frequenzen oder hinreichend tiefen Temperaturen allein der Nullpunktschwingung zuzuschreibende und bei Leistungsanpassung zwischen Quell- und Lastwiderstand auszutauschende verfügbare spektrale Leistungsdichte ${\displaystyle {\overline {u^{2}}}(4R\Delta f)={\tfrac {1}{2}}hf}$ sei.

• Dies verlangte Zustandsänderungen von einem halben Quant.

Für den Maser wurde gezeigt, dass die Nullpunktenergie nicht verstärkt wird.

Schwarzer Wellenleiter und Schwarze Hohlraumstrahlung

Zwei ohmsche Zweipole vom gleichen frequenzunabhängigen Widerstand ${\displaystyle R}$ im Wärmebad der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ seien durch eine verlustlose Leitung vom Wellenwiderstand ${\displaystyle Z=R}$ verbunden, s. reelle Wellenimpedanz. Wegen dieser Anpassung nach dem Wellenwiderstand befinden sich auf der Leitung nur fortschreitende Wellen beider Ausbreitungsrichtungen. Einflüsse durch stehende Wellen infolge Reflexion sind nicht vorhanden, infolgedessen liegt Frequenzselektivität nicht vor. Bei dieser Beschaltung besteht ohnehin Leistungsanpassung.

• Die ideale Leitung – beliebiger Länge und definiertem Wellenwiderstand – wird zwischengeschaltet, damit durch den Gedanken an räumlich ausgedehnte elektromagnetische Wellen die Kopplung thermischer Schwankungen an elektrodynamische gestützt wird.

Die elektromagnetischen Wellen auf der Leitung werden durch die rauschenden Widerstände emittiert und im jeweils anderen vollständig absorbiert.

• Die simultan rauschenden und dissipierenden Widerstände vermitteln die Einstellung und Aufrechterhaltung des thermodynamischen Gleichgewichts zwischen dem Energiegehalt der elektromagnetischen Wellen und dem Wärmebad, vgl. Fluktuations-Dissipations-Theorem.

Die zum anderen Widerstand übertragene Leistung stört das thermodynamische Gleichgewicht nicht, im Mittel findet kein gerichteter Energietransport statt.

• Diese bzgl. der Ausbreitung der elektromagnetischen Vorgänge längs des Schwarzen Wellenleiters, wie die Anordnung⁠^(*) hier genannt werde, eindimensionale Anordnung ist eine elektrotechnische Entsprechung zur dreidimensionalen Schwarzen Hohlraumstrahlung.⁠^(**)
• Das niederfrequente Rauschspektrum hat Nyquist durch Überlegungen an der vorstehend beschriebenen Anordnung gewonnen, indem er den Gleichverteilungssatz auf die Spektralkomponenten der elektromagnetischen Wellen anwandte, vertreten durch die kapazitive und induktive Belegung der Leitung mit Energiespeichern ${\displaystyle C^{\prime }}$ beziehungsweise ${\displaystyle L^{\prime }}$ pro Leitungslänge. Als Leitung stellte er sich ein ideales Koaxialkabel vom Wellenwiderstand ${\displaystyle Z={\sqrt {L^{\prime }/C^{\prime }}}=R}$ vor.
• Bei hohen Frequenzen betrachtete er Quanten ${\displaystyle hf}$ und korrigierte die Formel des weißen Spektrums entsprechend den Ergebnissen der planckschen Formel.

Im Niederfrequenzgebiet ist die Anregung der elektromagnetischen Wellen nicht quantentheoretisch gemindert. Das weiße Spektrum besagt: mittels der Leitung wird durch jede Spektralkomponente der Frequenz ${\displaystyle f}$ die verfügbare Schwankungsenergie ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ vom einen zum anderen Widerstand übertragen. Sie entspricht zwei Freiheitsgraden, was im Einklang mit der elektromagnetischen Natur des Übertragungsmechanismus ist. Elektrisches und magnetisches Feld steuern je einen Freiheitsgrad bei und daher nach dem Gleichverteilungssatz je die mittlere Schwankungsenergie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2k_{\mathrm {B} }T}}}$.

Die Niederfrequenznäherung ${\displaystyle f\,\ll \,f_{\mathrm {Q} }}$ in der Gestalt ${\displaystyle W(f)\approx hf{\tfrac {k_{\mathrm {B} }T}{hf}}}$ gibt mit dem Faktor ${\displaystyle {\tfrac {k_{\mathrm {B} }T}{hf}}}$ die Anzahl der erregten Photonen ${\displaystyle hf}$ an. Fast 10¹⁰ Quanten sind bei Raumtemperatur in der elektromagnetischen Welle der Frequenz ${\displaystyle f=1\,{\text{kHz}}}$ kondensiert, der potenziell quantenhafte Charakter der Welle kommt nicht augenfällig zum Tragen. – Die Spektralkomponente ${\displaystyle f}$ einer elektromagnetischen Welle kann beliebig viele Quanten ${\displaystyle hf}$ aufnehmen, vgl. Photonen und Bosonen.

Die Hochfrequenznäherung ${\displaystyle f\,\gg \,f_{\mathrm {Q} }}$ mit ${\displaystyle W(f)\approx hf\,\mathrm {e} ^{-hf\!/\!k_{\mathrm {B} }T}}$ führt auf den Boltzmann-Faktor entsprechend der geringeren Verfügbarkeit entsprechend großer Energiebeträge im Wärmebad. Die Quanten ${\displaystyle hf}$ lassen sich thermodynamisch mit großer Ausbeute nur bis zur Größenordnung ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ effizient anregen, größere Quanten ${\displaystyle hf}$ sind bei vergleichsweise kleinen thermisch zur Verfügung stehenden Energien ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ eingefroren im Sinne des Einfrierens beispielsweise der Rotationsfreiheitsgrade der spezifischen Wärme bei niedrigen Temperaturen.

Bei ${\displaystyle T=0{,}05\,{\text{K}}}$ ist ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }=1\,{\text{GHz}}}$ und mit ${\displaystyle W(f_{\mathrm {Q} })_{T=0,05\;\mathrm {K} }={\tfrac {1}{1,718}}=0{,}58}$ wäre die quantentheoretische Frequenzgrenze gerade deutlich merkbar, nur in rund der Hälfte der Zeit wäre die elektromagnetische Mode mit einem Photon besetzt. Für Frequenzen bis zu 1 GHz kann der ideale Schwarze Wellenleiter mit gängigen elektrotechnischen Mitteln jedoch kaum hinreichend genau realisiert werden.

Ein Vergleich: Oben wurde die Gesamtleistung P = 4,26 · 10⁻⁸ Watt für Raumtemperatur berechnet. Bei ebenfalls T = 300 K wird vom Schwarzen Strahler nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz bereits von einer Fläche 10⁻¹⁰ m² ungefähr dieselbe Leistung 4,6 · 10⁻⁸ Watt in den Halbraum abgestrahlt.

^(*) 

‚Dieser „Schwarze Körper“ gestattet also die Untersuchung der Strahlung an sich, unbeeinträchtigt durch materielle Eigenschaften des strahlenden Körpers, ein geradezu idealer Fall der experimentellen Verifizierung einer vollkommenen Abstraktion, eines theoretischen Begriffs.‘ Hervorhebungen in diesem Zitat sind vom Autor Walther Gerlach (1936) vorgenommen. Er fährt zur Beschreibung des Weges zur Erforschung der planckschen Formel fort: die Entwicklung des Zusammenhangs von Strahlungsenergie und Wellenlänge habe so nicht zu zahlreichen Tatsachen geführt, die erst zu ordnen waren, sondern direkt zum physikalischen Gesetz.

^(**) 

Ein deutlicher Unterschied zur Hohlraumstrahlung werde besonders herausgestellt, der die Nyquist-Formel entsprechend vereinfacht. Die endliche spektrale Leistung des Widerstandsrauschens reicht als weißes Spektrum bis zu beliebig kleinen Frequenzen, die der Schwarzen Hohlraumstrahlung verschwindet dagegen proportional zu ${\displaystyle f^{2}}$ für ${\displaystyle f\,\rightarrow 0}$, weil infolge der Abstrahlung in einen endlichen Raumwinkel die Frequenz in die Berechnung der Zustandsdichte (Anzahl der Oszillatoren im Frequenzintervall) eingeht. Beim Schwarzen Wellenleiter ist die Abstrahlung der verfügbaren Leistung zum angepassten Lastwiderstand dagegen eindimensional geführt, dadurch ist die Anzahl der Oszillatoren je Frequenzintervall 1, s. Nyquist. Die dicht liegenden Zustände ${\displaystyle f}$ mit Energie ${\displaystyle hf}$ können je mit vielen Photonen besetzt sein gemäß der mittleren Besetzungsdichte ${\displaystyle {\tfrac {W(f)}{hf}}={\tfrac {1}{\mathrm {e} ^{hf/k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$

Kapazitive Last

Der rauschende Widerstand ${\displaystyle R}$ arbeite auf den idealen Kondensator der Kapazität ${\displaystyle C}$.

Das Leerlauf-Spannungsspektrum ${\displaystyle 4RW(f)}$ des Wärmerauschens ist an der kapazitiven Last um das Betragsquadrat ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}}$ des Spannungsteilerfaktors reduziert.

${\displaystyle f_{\mathrm {E} }={\tfrac {1}{2\pi RC}}}$   ist die elektrotechnische Grenzfrequenz der RC-Anordnung zur Zeitkonstanten ${\displaystyle \tau =RC.}$

Jedem ohmschen Widerstand als Bauelement liegt eine kleine Streukapazität parallel, das Spektrum seiner Klemmenspannung ist in der Praxis⁠^(*)

${\displaystyle W_{\mathrm {Klemmen} }(f)={\frac {4\,Rk_{\mathrm {B} }T}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}.}$

Im thermischen Gleichgewicht wird gemäß der Formel ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}CU^{2}}$ für die Energie auf einem Kondensator bei einer Kondensatorspannung ${\displaystyle U}$ die mittlere Energie

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\,C\,{\overline {u^{2}}}&={\tfrac {1}{2}}C{\int _{0}^{\infty }\!4\,R\,W(f)\,{\frac {1}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\;\mathrm {d} f}\approx {\tfrac {1}{2}}C\;\cdot \;4\,Rk_{\mathrm {B} }T{\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {1}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\;\mathrm {d} f}\\\\&={\tfrac {1}{2}}C\;\cdot \;4\,Rk_{\mathrm {B} }T\;\Delta f_{\mathrm {eff} }={\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T\end{aligned}}}$

gespeichert, wobei zuletzt ${\displaystyle W(f)}$ durch den Niederfrequenzwert ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ ersetzt ist. Dem Kondensator wird ständig in rund der Dauer ${\displaystyle \tau }$, der Korrelationszeit, etwa die Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2k_{\mathrm {B} }T}}}$ zugeführt und entzogen.

Die effektive Bandbreite des RC-Gliedes ist definiert durch

${\displaystyle \Delta f_{\mathrm {eff} }={\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {1}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\;\mathrm {d} f}={\tfrac {\pi }{2}}f_{\mathrm {E} }={\tfrac {1}{4}}(RC)^{-1}.}$

• Der Kondensator ist über den Widerstand ${\displaystyle R}$ an dessen Wärmebad angekoppelt und speichert im Mittel die Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T.}$
• Der Kondensator hat thermodynamisch einen Freiheitsgrad, wie es einem Energiespeicher zukommt. Beide Aussagen gelten für die Induktivität entsprechend.

Die zur gespeicherten Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,C\,{\overline {u^{2}}}}$ komplementäre Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}$ der von ${\displaystyle R}$ im effektiven Frequenzintervall ${\displaystyle \Delta f_{\mathrm {eff} }}$ thermisch generierten Gesamtenergie ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ wird in ${\displaystyle R}$ selbst dissipiert.

Diese Bilanz ist von der Aufladung eines Kondensators mit einer Konstantspannung bekannt und kann aus dem Prinzip der minimalen Entropieproduktion hergeleitet werden. Natürlich wird die außerhalb der effektiven Bandbreite erzeugte Leistung in ${\displaystyle R}$ selbst dissipiert; denn mit wachsendem ${\displaystyle f\,\gg \,f_{\mathrm {E} }}$ arbeitet der Widerstand zunehmend im Kurzschluss.

Die Zeitkonstante ${\displaystyle RC}$ und damit das effektive Frequenzband ${\displaystyle \Delta f_{\mathrm {eff} }}$ fallen gerade so aus, dass dem einen thermischen Freiheitsgrad des Kondensators genügt wird.

Folgerung 1: Jeder reale Kondensator besteht im Ersatzschaltbild aus einem idealen Kondensator mit parallel geschaltetem, endlichen Isolationswiderstand, wodurch er die Ankopplung an ein Wärmebad erfährt. Der reale Kondensator speichert daher die zugeführte, nur von der Temperatur abhängige mittlere Energie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T.}$ Gemäß ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,C\,{\overline {u^{2}}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,{\tfrac {\overline {q^{2}}}{C}}}$ liegt am Kondensator die effektive Rauschspannung ${\displaystyle {\sqrt {\overline {u^{2}}}}\,=\,{\sqrt {\tfrac {k_{\mathrm {B} }T}{C}}},}$ wozu dem Betrage nach im Mittel ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\overline {q^{2}}}}{|e|}}\,=\,{\tfrac {\sqrt {Ck_{\mathrm {B} }T}}{|e|}}}$ Elektronenladungen ${\displaystyle e}$ gespeichert werden. An einem Kondensator von 1 pF beträgt bei Raumtemperatur die effektive Rauschspannung 64 µV, die 402 Elementarladungen benötigt, die im Mittel für die zufälligen Spannungsschwankungen transportiert werden. Erinnert wird an die Tatsache ${\displaystyle {\overline {u}}=0}$ und ${\displaystyle {\overline {q}}=0}$.

Folgerung 2: Die grundlegende Proportionalität der Rauschleistung zur absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ wird unmittelbar erkennbar, wenn das Rauschspannungsquadrat ${\displaystyle {\overline {u^{2}}}=k_{\mathrm {B} }T/C}$ über einem Kondensator hochohmig gemessen wird. Ein Drahtwiderstand dient zweckmäßigerweise als rauschender Widerstand ${\displaystyle R}$, weil er sehr große Temperaturänderungen erlaubt; gemäß der Formel beeinflusst seine unvermeidliche Temperaturabhängigkeit das Messergebnis bei dieser Schaltung nicht.

Diese Anordnung eignet sich für ein eindrucksvolles Demonstrationsexperiment. ${\displaystyle RT}$ muss stets so groß sein, dass das Eigenrauschen des Verstärkers nicht stört.

• Das Ergebnis verdeutlicht besonders eindringlich, dass das Bauelement Widerstand nur als Mittler dient zwischen dem Wärmespeicher Wärmebad und dem elektrischen Speicher. Bei einem magnetischen Speicher gilt entsprechendes.

^(*) 

Die Streukapazität eines Bauelements Widerstand begrenzt praktisch das Spektrum, bevor ein Einfluss durch die quantentheoretische Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }}$ merkbar wird. Bei hoher Frequenz muss zusätzlich eine induktive Komponente beachtet werden. Allerdings ist damit die Frequenzgrenze erreicht, ab der das Bauelement nicht mehr als konzentriertes betrachtet werden kann; der rauschende Widerstand wäre nun unter Bedingungen der Leitungstheorie zu behandeln. Schließlich sind Klemmen des Bauelements nicht mehr gut definiert und eine Auffassung als Antenne ist angemessener.

Dissipation und Speicherung

Tatsächlich müsste das Spannungsspektrum ${\displaystyle W(f)}$ als quantentheoretische Formel integriert werden, doch das bis zur elektrotechnischen Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{\mathrm {E} }}$ reichende Frequenzband eines realen Kondensators begrenzt das wirksame Spektrum bei 300 K weit unterhalb der quantentheoretischen Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }}$

Diese Tatsache wird im Folgenden ausgenutzt zur Berechnung der im rauschenden Widerstand selbst unter kapazitiver Last dissipierten Leistung. Im Unterschied zum Vorstehenden ist hier das Spannungsquadrat über dem Widerstand selbst zu betrachten, das mit dem Betragsquadrat ${\displaystyle {\tfrac {(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}}$ des komplexen Spannungsteilerfaktors zu bewerten ist. Die in ${\displaystyle R}$ dissipierte Leistung ist

${\displaystyle P={\frac {\overline {u^{2}}}{R}}=4{\int _{0}^{\infty }\!W(f)\,{\frac {(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\;\mathrm {d} f}}$.

Indem zum elektrotechnischen Teilerfaktor im Intergranden 1 addiert und subtrahiert wird und −1 in diesen Teilerfaktor eingerechnet wird, ergibt sich mit der quantentheoretischen Grenzfrequenz zunächst

${\displaystyle P=4\,k_{\mathrm {B} }T{\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {f/f_{\mathrm {Q} }}{\mathrm {e} ^{f/f_{\mathrm {Q} }}-1}}\left(1-{\frac {1}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\right)\mathrm {d} f}.}$

Das Integral über den ersten Summanden, die Kurzschlussleistung in R selbst, wurde oben bereits ausgewertet, das Integral über den zweiten wird – meistens in ausgezeichneter – Näherung berechnet, indem vereinfachend der Faktor ${\displaystyle {\tfrac {f\!/\!f_{\mathrm {Q} }}{\mathrm {e} ^{f\!/\!f_{\mathrm {Q} }}-1}}}$ gleich 1 gesetzt wird, weil das Frequenzband bis ${\displaystyle f_{\mathrm {Q} }}$ im Allgemeinen wesentlich weiter ausgreift als das elektrotechnisch bedingte bis ${\displaystyle f_{\mathrm {E} }}$. Das unmittelbar erhaltene Ergebnis ist mit den Bandbreiten beziehungsweise den effektiven Bandbreiten ausgedrückt

${\displaystyle {\begin{aligned}P&\approx 4\,k_{\mathrm {B} }T\left({\tfrac {\pi ^{2}}{6}}f_{\mathrm {Q} }-{\tfrac {\pi }{2}}f_{\mathrm {E} }\right)=4\,k_{\mathrm {B} }T\left(\Delta f_{\mathrm {Q,\,eff} }-\Delta f_{\mathrm {eff} }\right)\\&\approx k_{\mathrm {B} }T\left({\tfrac {2}{3}}\,\pi ^{2}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{h}}-{\frac {1}{RC}}\right)\!.\end{aligned}}}$

Der zweite Term ist klein gegen den ersten, der die mittlere in R dissipierte Gesamtleistung bei Kurzschluss darstellt. Diese wird durch die kapazitive Last um die Leistung   ${\displaystyle {\tfrac {\overline {u^{2}}}{R}}={\tfrac {k_{\mathrm {B} }T}{RC}},}$ geschmälert, indem die Kondensatorspannung den Spannungsabfall über R und den Strom im Kreis mindert. Kondensatorspannung und Strom sind außer Phase, kennzeichnend für die Speicherung der Energie und den Transport von Blindleistung ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$ in der Zeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}RC}$.

Widerstand mit Parallelkapazität

Die AKF zum Spektrum ${\displaystyle W_{\mathrm {Klemmen} }(f)}$ der Klemmenspannung des Widerstands mit parallel liegender Streukapazität ist

${\displaystyle \rho _{\mathrm {Klemmen} }(\Delta t)={\tfrac {1}{2}}\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!{\frac {4\,Rk_{\mathrm {B} }T}{1+(f/f_{\mathrm {E} })^{2}}}\,\mathrm {e} ^{j2\pi f\Delta t}\,\mathrm {d} f={\tfrac {2}{\pi }}{\frac {Rk_{\mathrm {B} }T}{\tau }}\!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}\,\cos \left(x{\tfrac {\Delta t}{\tau }}\right)={\frac {Rk_{\mathrm {B} }T}{\tau }}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {|\Delta t|}{\tau }}}.}$

Die Leistung, die bei parallel liegendem Kondensator der Kapazität ${\displaystyle C}$ im rauschenden Widerstand selbst dissipiert wird, ist

${\displaystyle \rho _{\mathrm {Klemmen} }(0)\!/\!R=k_{\mathrm {B} }T\!/\!\tau .}$

Die normierte AKF wird allein durch den statistischen Zusammenhang bestimmt

${\displaystyle {\frac {\rho _{\mathrm {Klemmen} }(\Delta t)}{\rho _{\mathrm {Klemmen} }(0)}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {|\Delta t|}{\tau }}}.}$

Die mittlere Korrelationsdauer wird definiert durch

${\displaystyle {\overline {\Delta t}}={\frac {\int _{-\infty }^{+\infty }\!|\Delta t|\,{\frac {\rho _{\mathrm {Klemmen} }(\Delta t)}{\rho _{\mathrm {Klemmen} }(0)}}\,\mathrm {d} \Delta t}{\int _{-\infty }^{+\infty }\!{\tfrac {\rho _{\mathrm {Klemmen} }(\Delta t)}{\rho _{\mathrm {Klemmen} }(0)}}\,\mathrm {d} \Delta t}}=\tau \;{\frac {\int _{0}^{+\infty }\!{\frac {\Delta t}{\tau }}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta t}{\tau }}}\,\mathrm {d} {\frac {\Delta t}{\tau }}}{\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta t}{\tau }}}\,\mathrm {d} {\tfrac {\Delta t}{\tau }}}}=\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{\mathrm {E} }}}.}$

• Diese Beschaltung des rauschenden Widerstands zwingt dem Rauschen eine mittlere Korrelationsdauer auf, sie ist gleich seiner Zeitkonstanten ${\displaystyle \tau =RC}$, vgl. oben.
• Große Korrelationsdauern sind mit exponentiell geringer werdendem Gewicht vertreten.

Exkurs zur messtechnischen Bedeutung der Korrelationszeit. Den verrauschten Ausschlag eines Messinstrumentes zu messen, erfordert viele unabhängige Ablesungen für eine ausreichende Statistik zur Berechnung von Mittelwert und seinem Fehler mit der gewünschten Genauigkeit. (Gaußsches Rauschen ist dazu von Vorteil.)

• Die mindest erforderliche Messdauer errechnet sich aus der Anzahl der für die erstrebte Genauigkeit erforderlichen Einzelmessungen multipliziert mit einem kleinen Vielfachen der Korrelationszeit der Störung.

Quantentheoretisch begrenzte AKF des Widerstandsrauschens

Die AKF zum quantentheoretisch begrenzten Spektrum ${\displaystyle W(f)}$ der verfügbaren Leistung ist hierunter berechnet.

Hinweis 1: ${\displaystyle S(f)\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,W(f)}$ definiert auf ${\displaystyle -\infty \,<\,f\,<\,+\infty }$ geht in diese Formel ein.

Hinweis 2: Vorstehend ist die Korrelationsfunktion der Klemmenspannung behandelt worden, jetzt ist ${\displaystyle \rho (\Delta t)}$ von der Dimension Leistung.

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\Delta t)&={\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!{\tfrac {|f/f_{\mathrm {Q} }|}{\mathrm {e} ^{|f/f_{\mathrm {Q} }|}\;-\;1}}\,\mathrm {e} ^{j2\pi f\Delta t}\,\mathrm {d} f\\&=k_{\mathrm {B} }Tf_{\mathrm {Q} }\!\int _{0}^{\infty }\!\!{\tfrac {f/f_{\mathrm {Q} }}{\mathrm {e} ^{f/f_{\mathrm {Q} }}\;-\;1}}\,\cos {\left[2\pi {\tfrac {f}{f_{\mathrm {Q} }}}(f_{\mathrm {Q} }\Delta t)\right]}\,\mathrm {d} {\tfrac {f}{f_{\mathrm {Q} }}}=k_{\mathrm {B} }Tf_{\mathrm {Q} }\!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {x}{\mathrm {e} ^{x}\;-\;1}}\,\cos {\left(2\pi xf_{\mathrm {Q} }\Delta t\right)}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Daraus folgt zunächst die oben bereits berechnete verfügbare Gesamtleistung

${\displaystyle P=\rho (0)={\tfrac {\pi ^{2}}{6}}\,k_{\mathrm {B} }Tf_{\mathrm {Q} }.}$

Die normierte AKF des quantenmechanisch begrenzten Rauschspektrums beschreibt wieder die innere zeitliche Struktur allein

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho (\Delta t)}{\rho (0)}}&=3\left[(\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t)^{-2}-\sinh ^{-2}(\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t)\right]\\&=3\sinh ^{-2}(\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t)\left[\left({\frac {\sinh(\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t)}{\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t}}\right)^{2}-1\right]\\{\text{mit }}\omega _{\mathrm {Q} }&=2\pi f_{\mathrm {Q} }={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}.\end{aligned}}}$

zeigt, dass

${\displaystyle {\frac {\rho (\Delta t)}{\rho (0)}}={\begin{cases}1\,,&{\text{wenn }}\quad \Delta t\to 0\ \\0{,}522\,,&{\text{wenn }}\quad \omega _{\mathrm {Q} }|\Delta t|=2\ \\3\,(\omega _{\mathrm {Q} }\Delta t)^{-2}\,,&{\text{wenn }}\quad \omega _{\mathrm {Q} }|\Delta t|\gg 1{\text{. }}\end{cases}}}$

• Das quantentheoretisch begrenzte Rauschen hat eine Korrelationsdauer von etwa ${\displaystyle |\Delta t|=2/\omega _{\mathrm {Q} }=2\,{\frac {\hbar }{k_{\mathrm {B} }T}}.}$
• Die großen Korrelationsdauern sind proportional zu ${\displaystyle \Delta t^{-2}}$ gewichtet.

Damit wird beispielhaft deutlich, dass ein schwacher Abfall des Spektrums einen steilen der Korrelationsfunktion zur Folge hat und umgekehrt. Das kapazitiv proportional zu ${\displaystyle f^{-2}}$ begrenzte Spektrum ist mit einem exponentiellen Abfall des statistischen Gewichts steigender Korrelationszeiten verknüpft. – Das quantentheoretisch begrenzte Spektrum fällt mit wachsender Frequenz praktisch exponentiell ab, seine Korrelationsfunktion schließlich näherungsweise nur entsprechend ${\displaystyle |\Delta t|^{-2}.}$

Weißes Rauschen

Zur Frage des breiten Spektrums bei innerem Zusammenhang kurzer Dauer und umgekehrt wird der Extremfall angeführt. Dem weißen Spektrum entsprechen beliebig kurzdauernde Vorgänge. Ein Impuls, der im Entstehen schon wieder vergeht, kann dazu dienen und ist mit der Dirac-Distribution ${\displaystyle \delta (t)}$ mathematisch wohl definiert. Von diesem beliebig kurzzeitigen Objekt können nur die Werte ${\displaystyle \delta (t)=0}$ für ${\displaystyle t\,\neq \,0}$ finit angegeben werden. Dennoch eignet es sich diese Delta-Distribution wegen der Mittelwerteigenschaft

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\delta (t)\,\mathrm {d} t=1}$

zur Darstellung physikalischer Sachverhalte.⁠^(*)

${\displaystyle \delta (t)}$ führt zwingend auf Korrelationsfunktionen: Weil kein Quadrat der Distribution gebildet werden kann, muss zur Berechnung der Leistung auf die AKF, vgl. Faltungsintegral, zurückgegriffen werden:

${\displaystyle \delta (t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\!\delta (t)\delta (t+\theta )\,\mathrm {d} \theta }$

Der Spannungspuls zur Zeit ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle u(t)=p\delta (t-t_{0})\,\!}$

erzeugt den Spannungsstoß

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!u(t)\,\mathrm {d} \Delta t\ =\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!p\,\delta (t-t_{0})\,\mathrm {d} \Delta t=p}$

der Einheit 1 Vs und hat die AKF beliebig kurzer Korrelationszeit

${\displaystyle \rho (\Delta t)=p^{2}\!\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!\delta (t-t_{0})\delta (t)\,\mathrm {d} \Delta t=p^{2}\delta (\Delta t)}$

sowie das weiße Frequenzspektrum

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}S(f)&=p^{2}\!\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!\delta (\Delta t)\,\mathrm {e} ^{-j\,2\pi \!f\Delta t}\,\mathrm {d} \Delta t=p^{2},&\quad &\ -\infty \leq f\leq +\infty \,.\\\end{alignedat}}}$

Umgekehrt führt das beliebig schmale Frequenzband bei ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}S(f)&={\tfrac {1}{2}}{\hat {u}}^{2}\left[\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})\right],\quad \ -\infty <f<+\infty \,;&\quad &\qquad \ \,W(f)={\hat {u}}^{2}\delta (f-f_{0}),\quad f\geq 0\\\end{alignedat}}}$

auf die AKF beliebig weit reichender periodischer Korrelation

${\displaystyle \rho (\Delta t)={\hat {u}}^{2}\cos(2\pi f_{0}t)\,.}$

Mit ${\displaystyle f_{0}\,\rightarrow 0}$ wird die Korrelationsdauer beliebig groß. Bei der Gleichspannung ${\displaystyle u(t)={\hat {u}}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}S(f)&={\hat {u}}^{2}\delta (f),\ \quad -\infty <f<+\infty \,;&\quad &\qquad \ \qquad \qquad \qquad \qquad W(f)={\hat {u}}^{2}\delta (f),\quad f\geq 0\\\rho (\Delta t)&={\hat {u}}^{2},\,\quad \quad \quad -\infty <\Delta t<+\infty \,.\\\end{alignedat}}}$

Hier kann einfach von unendlich großer Korrelationsdauer gesprochen werden bei ebenfalls streng lokalisiertem Spektrum.

^(*) 

Bemerkung: Der Stoß ${\displaystyle \delta (t)}$ hat zur physikalischen Dimension stets den Kehrwert der Dimension seines Arguments: ${\displaystyle \delta (t)\mathrm {d} t}$ ist also von der Dimension 1. Hier ist ${\displaystyle t}$ die Zeit mit der Einheit 1 s und Ausdrücke mit dimensionsbehaftetem Argument wie das Objekt ${\displaystyle \delta (t)\mathrm {d} t,}$ auf das jede Anwendung schließlich hinausläuft, meinen gedanklich stets den Ausdruck ${\displaystyle \delta ({\tfrac {t}{\mathrm {s} }})\,\mathrm {d} ({\tfrac {t}{\mathrm {s} }})}$; denn die Distribution ist rein mathematisch definiert. In diesen Zusammenhang gehört die Formel ${\displaystyle \delta (\alpha t)\,=\,|\alpha |^{-1}\,\delta (t),\ \alpha \,\neq \,0.}$ ${\displaystyle \delta (t)=\delta (-t)}$ ist gerade im Argument.

Exponentialimpulse

• Unter den Voraussetzungen von Campbell’s Theorem addieren sich die quadratischen Größen Leistung und Energie ohne den mittleren inneren zeitlichen Zusammenhang der Pulsfolge – gemessen durch die AKF – zu verändern, statistische Überlappung von Impulsen endlicher Dauer (inkohärente Überlagerung) ist zugelassen, obgleich das resultierende Amplitudenspektrum verändert wird.

Zur Veranschaulichung werden in der vorstehend beschriebenen Impulsfolge – unter entsprechenden Bedingungen – die Stoßfunktionen durch Exponentialimpulse

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\hat {u}}\,\mathrm {e} ^{-t/\tau },&\ t\geq 0\\0,&\ t<0\end{cases}}}$

ersetzt. Die AKF und das Frequenzspektrum, ein Lorentzprofil, der modifizierten Spannung sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\Delta t)&=\lambda {\frac {{\hat {u}}^{2}\tau }{2}}\,\mathrm {e} ^{-|\Delta t|/\tau }+\left[(\lambda {\hat {u}}\tau )^{2}\right]\\S(f)&=\lambda ({\hat {u}}\tau )^{2}{\frac {1}{1+(2\pi f\tau )^{2}}}+\left[(\lambda {\hat {u}}\tau )^{2}\,\delta (f)\right]\end{aligned}}}$

Zu den Termen in eckigen Klammern s. Bemerkung.⁠^(*)

${\displaystyle {\tfrac {\rho (0)}{R}}={\tfrac {{\hat {u}}^{2}}{2R}}\lambda \tau }$ ist die am Widerstand ${\displaystyle R}$ dissipierte Leistung. Durch das Produkt ${\displaystyle \lambda \tau }$ kann der Grad der Überlappung eingestellt werden.

AKF und Spektrum haben dieselbe Abhängigkeit von ${\displaystyle \Delta t}$ beziehungsweise ${\displaystyle f}$ wie beim Rauschen des Widerstands mit parallelem Kondensator, s. oben, obgleich die Einzelimpulse sicher wesentlich verschieden sind. Entsprechend ${\displaystyle h(t)}$ entlädt sich mit der Zeitkonstanten ${\displaystyle \tau =RC}$ ein Kondensator über einen Widerstand.

• Während dem RC-gefilterten Widerstandsrauschen der invariante innere Zusammenhang gemäß ${\displaystyle {\tfrac {\rho (\Delta t)}{\rho (0)}}=\mathrm {e} ^{-|\Delta t|/\tau }}$ aufgeprägt wird, liegt er hier vom Einzelprozess her determiniert vor.
• Von ${\displaystyle \rho (\Delta t)}$ oder dem Spektrum her kann nicht auf determinierte Einzelprozesse oder zufällige rückgeschlossen werden.

^(*) 

Bemerkung: Eine endliche Gleichkomponente ${\displaystyle {\overline {u(t)}}\,=\,\lambda {\hat {u}}\tau }$ entsteht, wenn alle Exponentialimpulse mit festem (positiven) Vorzeichen in die Folge ${\displaystyle u(t)}$ aufgenommen werden. Gleichanteile der Einzelimpulse wie hier ${\displaystyle {\overline {h(t)}}\,=\,{\hat {u}}\tau }$ sind kohärent und müssen daher als Amplituden addiert werden: ${\displaystyle {\overline {u(t)}}\,=\,\lambda \,{\overline {h(t)}}}$. Folglich wird die (nach Division durch ${\displaystyle R}$) Gleichleistung ${\displaystyle {\overline {u}}^{2}\,=\,(\lambda {\hat {u}}\tau )^{2}}$ zur AKF hinzu addiert und der entsprechende Term ${\displaystyle {\overline {u}}^{2}\,\delta (f)\,=\,(\lambda {\hat {u}}\tau )^{2}\,\delta (f)}$ dem Spektrum.