Kombinationssatz von Klein

Der Kombinationssatz von Klein ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Fuchsschen und Kleinschen Gruppen.

Er gibt Bedingungen für die Konstruierbarkeit diskreter Gruppen hyperbolischer Isometrien als freie Produkte und wird beispielsweise bei der Konstruktion von Schottky-Gruppen verwendet.

Er wurde 1883 von Felix Klein bewiesen. Gelegentlich wird auch der allgemeinere Kombinationssatz von Maskit als Kombinationssatz von Klein-Maskit bezeichnet.

Kombinationssatz

Der Kombinationssatz hat zwei Formulierungen, eine für Isometrien des hyperbolischen Raumes und eine äquivalente für Möbiustransformationen. (Die letztere war ursprünglich von Felix Klein bewiesen worden.) Die Äquivalenz der beiden Aussagen erhält man dadurch, dass Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes $H^{3}$ als Möbiustransformationen auf der "Sphäre im Unendlichen" $S_{\infty }^{2}=\partial _{\infty }H^{3}$ wirken.

Kombinationssatz für diskrete Gruppen hyperbolischer Isometrien

Seien $G_{1},G_{2}$ zwei diskrete Untergruppen von $Isom^{+}(H^{n})$ (der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes) mit Fundamentalbereichen $D_{1},D_{2}\subset H^{n}$ , die die Bedingungen

int(D_{1})\supset ext(D_{2}),int(D_{2})\supset ext(D_{1})

erfüllen. Dann ist die von $G_{1}$ und $G_{2}$ erzeugte Untergruppe $G\subset Isom(H^{n})$ eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

G=G_{1}*G_{2}.

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von $G$ auf $H^{n}$ ist

D=D_{1}\cap D_{2}

.

Kombinationssatz für Möbiustransformationen

Seien $G_{1},G_{2}$ zwei diskrete Gruppen von Möbiustransformationen, also diskrete Untergruppen von $PSL(2,\mathbb {C} )$ mit Fundamentalbereichen $D_{1},D_{2}\subset S_{\infty }^{2}$ , die die Bedingungen

int(D_{1})\supset ext(D_{2}),int(D_{2})\supset ext(D_{1})

erfüllen. Dann ist die von $G_{1}$ und $G_{2}$ erzeugte Untergruppe $G\subset PSL(2,\mathbb {C} )$ eine diskrete Untergruppe und isomorph zum freien Produkt

G=G_{1}*G_{2}.

Ein Fundamentalbereich für die Wirkung von $D$ auf $S_{\infty }^{2}$ ist

D=D_{1}\cap D_{2}

.

Beweisidee

Für jeden Punkt $x\in D$ und jedes reduzierte Wort

g=g_{1}g_{2}\ldots g_{n-1}g_{n}

mit $g_{2k-1}\in G_{1},g_{2k}\in G_{2}$ zeigt man per vollständiger Induktion $gx\not \in D$ . Für einen detaillierten Beweis einer etwas allgemeineren Aussage siehe: .

Anwendung: Schottky-Gruppen

Konstruktion von Schottky-Gruppen: Seien $g_{1},\ldots ,g_{k}\in PSL(2,\mathbb {C} )$ Möbiustransformationen und $A_{1},B_{1},\ldots ,A_{k},B_{k}\subset S_{\infty }^{2}$ Jordankurven, so dass für $i=1,\ldots ,k$ jeweils $g_{i}$ das Innere von $A_{i}$ auf das Äußere von $B_{i}$ abbildet. Dann ist die von $g_{1},\ldots ,g_{k}$ erzeugte Gruppe diskret und eine freie Gruppe. (So konstruierte Gruppen werden als Schottky-Gruppen bezeichnet.)

Obige Konstruktion lässt sich auch ohne den allgemeinen Kombinationssatz aus dem Poincaréschen Polyedersatz herleiten. Mit dem Kombinationssatz kann man aber die folgende stärkere Aussage beweisen: Jede nichtelementare (nicht notwendig diskrete) Gruppe enthält eine nichtelementare Schottky-Gruppe.

Schottky-Gruppen sind konvex-kokompakt. Ihre Limesmenge ist eine Cantormenge.

Literatur

Felix Klein: Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie, Math. Ann. 21 (1883), 141–218.
R. Fricke und F. Klein: Vorlesungen über die Theorie der Automorphen Functionen. I, Teubner, Leipzig, 1897.
L. R. Ford: Automorphic functions, 1st ed., McGraw-Hill, New York, 1929.
Bernard Maskit: Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17746-9

Einzelnachweise

↑ Für eine abgeschlossene Teilmenge $D\subset S^{2}$ bezeichnen wir mit $int(D)$ den offenen Kern und mit $ext(D):=S^{2}\setminus D$ das Komplement von $D$ .
↑ Maskit, On Klein's combination theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 120, 499–509 (1965) online
↑ Jede Jordankurve zerlegt $S_{\infty }^{2}$ in zwei Zusammenhangskomponenten (Jordanscher Kurvensatz). Wir wählen einen (beliebigen) festen Punkt $p\in S_{\infty }^{2}$ und definieren dann das "Innere" einer Jordankurve als diejenige Zusammenhangskomponente, die $p$ enthält, das Äußere als das Komplement.

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[1] Für eine abgeschlossene Teilmenge $D\subset S^{2}$ bezeichnen wir mit $int(D)$ den offenen Kern und mit $ext(D):=S^{2}\setminus D$ das Komplement von $D$ .

[2] Maskit, On Klein's combination theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 120, 499–509 (1965) online

[3] Jede Jordankurve zerlegt $S_{\infty }^{2}$ in zwei Zusammenhangskomponenten (Jordanscher Kurvensatz). Wir wählen einen (beliebigen) festen Punkt $p\in S_{\infty }^{2}$ und definieren dann das "Innere" einer Jordankurve als diejenige Zusammenhangskomponente, die $p$ enthält, das Äußere als das Komplement.