Klassische Schottky-Gruppen

Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ mit der Wirkung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Man nehme ${\displaystyle 2k}$ paarweise disjunkte Kreisscheiben

${\displaystyle C_{-1},C_{1},\ldots ,C_{-k},C_{k}}$

in ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$. Für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ gibt es Abbildungen ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$, die jeweils das Innere von ${\displaystyle C_{-i}}$ bijektiv auf das Äußere von ${\displaystyle C_{i}}$ abbilden. Die von ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )}$ ist eine (klassische) Schottky-Gruppe.

Allgemeine Schottky-Gruppen

Allgemeiner kann man ${\displaystyle 2k}$ disjunkte, von Jordan-Kurven berandete Gebiete betrachten. Falls es Abbildungen ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$ gibt, die jeweils das Innere von ${\displaystyle C_{-i}}$ bijektiv auf das Äußere von ${\displaystyle C_{i}}$ abbilden, dann wird die von den ${\displaystyle \theta _{i}}$ erzeugte Gruppe als Schottky-Gruppe bezeichnet. Im Rahmen dieser allgemeineren Definition werden die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen dann als klassische Schottky-Gruppen bezeichnet.

Hyperbolische Henkelkörper

Die Riemannsche Zahlenkugel ist der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{3}}$, die Kreise ${\displaystyle C_{i}}$ beranden jeweils Halbsphären ${\displaystyle S_{i}}$ und die ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$ entsprechen jeweils loxodromischen Isometrien, welche das Äußere von ${\displaystyle S_{-i}}$ bijektiv auf das Innere von ${\displaystyle S_{i}}$ abbilden. Der Quotientenraum ${\displaystyle \Gamma \backslash H^{3}}$ ist dann homöomorph zum Inneren eines Henkelkörpers.

Limesmenge und Diskontinuitätsbereich

Die Limesmenge ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ einer Schottky-Gruppe ist eine Cantormenge. Das Komplement ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} \setminus \Lambda (\Gamma )}$ ist der Diskontinuitätsbereich ${\displaystyle \Omega (\Gamma )}$.

Der Quotient ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega (\Gamma )}$ ist eine Riemannsche Fläche. Die Vereinigung ${\displaystyle \Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))}$ ist ein Henkelkörper.