Konstruktion des Graphens

Sei ${\displaystyle \Gamma =(V,E)}$ ein beschrifteter orientierter Graph (${\displaystyle V}$ = Knoten, ${\displaystyle E}$ = Kanten), der keine Schleifen besitzt, ${\displaystyle n+2}$ Knoten und ${\displaystyle 2n}$ Kanten hat. Weiter soll sich ${\displaystyle V}$ in zwei geordnete Mengen ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ und ${\displaystyle \{F,G\}}$ zerlegen lassen.

${\displaystyle \Gamma }$ besitzt die Beschriftung ${\displaystyle e_{1}^{1},e_{1}^{2},e_{2}^{1},e_{2}^{2},\dots ,e_{n}^{1},e_{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle e_{k}^{j}}$ mit ${\displaystyle j\in \{1,2\}}$ bedeutet, dass die Kante in ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$ beginnt.

Mit ${\displaystyle G_{n}}$ bezeichnen wir die Subklasse all dieser Graphen.

Beispiel: Der Graph im Bild besitzt folgende Kanten

${\displaystyle (e_{1}^{1},e_{1}^{2},e_{2}^{1},e_{2}^{2},e_{3}^{1},e_{3}^{2})=\left((1,F),(1,2),(2,F),(2,G),(3,F),(3,G)\right).}$

Konstruktion des Bidifferentialoperators

Sei ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}:=\Gamma (\wedge ^{2}TM)}$ ein Poisson-Bivektorfeld einer Poisson-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Weiter sei ${\displaystyle I:E\to \{1,\dots ,d\}}$ eine Funktion, welche die Kanten neu beschriftet ${\displaystyle (e_{1}^{1},e_{1}^{2},\dots ,e_{n}^{1},e_{n}^{2})\mapsto (i_{1},\dots ,i_{d})}$, so dass die neue Beschriftungen unabhängig von den Indizes sind.

Für jeden zulässigen Graphen ${\displaystyle \Gamma \in G_{n}}$ assoziieren wir einen Bidifferentialoperator

${\displaystyle B_{\Gamma ,\pi }:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M).}$

Die Knoten ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ repräsentieren eine Funktion ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ und für jeden Knoten ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$ assoziieren wir einen Tensor ${\displaystyle \pi ^{I(e_{k}^{1})I(e_{k}^{2})}}$. Zu jeder Kante ${\displaystyle i_{l}}$ assoziieren wir zudem eine partielle Ableitung der Funktion oder des Tensors am Endknoten des Pfeils. Die Ableitungen werden in der durch die Beschriftung vorgeschriebenen Reihenfolge multipliziert.

Die allgemeine Formel für den Operator ${\displaystyle B_{\Gamma ,\pi }}$ ist

${\displaystyle B_{\Gamma ,\pi }:=\sum \limits _{I:E\to \{1,\dots ,d\}}\left[\prod \limits _{k=1}^{n}\left(\prod \limits _{e\in E,e=(\cdot ,k)}\partial _{I(e)}\right)\pi ^{I(e_{k}^{1})I(e_{k}^{2})}\right]\left(\prod \limits _{e\in E,e=(\cdot ,F)}\partial _{I(e)}\right)f\left(\prod \limits _{e\in E,e=(\cdot ,G)}\partial _{I(e)}\right)g.}$

Beispiel: Der zum Graphen im Bild assoziierte Bidifferentialoperator ist

${\displaystyle (f,g)\mapsto \sum \limits _{i_{1},\dots ,i_{6}}\pi ^{i_{1},i_{2}}\partial _{i_{2}}\left(\pi ^{i_{3},i_{4}}\right)\pi ^{i_{5},i_{6}}\partial _{i_{1}}\partial _{i_{3}}\partial _{i_{5}}(f)\partial _{i_{4}}\partial _{i_{6}}(g).}$

Der Graph sagt, wir haben die Tensoren ${\displaystyle \{\pi ^{i_{1},i_{2}},\pi ^{i_{3},i_{4}},\pi ^{i_{5},i_{6}}\}}$ und wegen der Kante ${\displaystyle i_{2}}$ müssen wir ${\displaystyle \pi ^{i_{3},i_{4}}}$ ableiten. Die restlichen Kanten sind Ableitungen von ${\displaystyle f}$ bzw. ${\displaystyle g}$.

Berechnung des Gewichts

Sei ${\displaystyle \mathbb {H} }$ die obere Halbebene (${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>0}$) mit der hyperbolischen Metrik

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}{y^{2}}}}$.

Definiere für ${\displaystyle p\neq q\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \phi (p,q):=\operatorname {arg} \left({\frac {q-p}{q-{\bar {p}}}}\right)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\log \left({\frac {(q-p)({\bar {q}}-p)}{(q-{\bar {p}})({\bar {q}}-{\bar {p}})}}\right).}$

${\displaystyle \phi (p,q)}$ misst den Winkel zwischen der Geodäte ${\displaystyle [p,q]}$ und der Geodäte ${\displaystyle [p,\infty ]}$ gegen den Uhrzeigersinn.

Sei ${\displaystyle {\cal {{H}_{n}}}}$ der Raum der Konfiguration von ${\displaystyle n}$ nummerierten paarweise verschiedenen Punkten in ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle {\cal {{H}_{n}:=\{(p_{1},\dots ,p_{n})\mid p_{k}\in \mathbb {H} ,\ p_{k}\neq p_{l}\;{\text{für}}\;k\neq l\}.}}}$

${\displaystyle {\cal {{H}_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}}}}$ ist eine nicht-kompakte glatte ${\displaystyle 2n}$-dimensional Mannigfaltigkeit.

Sei ${\displaystyle \Gamma \in G_{n}}$ ein Graph und ${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n})\in {\cal {{H}_{n}}}}$ eine Konfiguration, dann können wir den Graphen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {C} }$ übertragen. Wir weisen jedem Punkt ${\displaystyle p_{k}}$ einen Knoten ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ zu, den Punkt ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ dem Knoten ${\displaystyle F}$ und den Punkt ${\displaystyle 1\in \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ dem Knoten ${\displaystyle G}$.

Sei ${\displaystyle e_{k}^{b}\in E}$ eine Kante, dann definieren wir ${\displaystyle \phi _{e_{k}^{b}}:=\phi (k,b)}$.

Das Gewicht lässt sich wie folgt berechnen

${\displaystyle w_{\Gamma }:={\frac {1}{n!(2\pi )^{2n}}}\int _{\cal {{H}_{n}}}\bigwedge \limits _{k=1}^{n}(\mathrm {d} \phi _{e_{k}^{1}}\wedge \mathrm {d} \phi _{e_{k}^{2}}).}$