Ältere Quantentheorie (1900–1925)

Die erste Regel zur Quantisierung wurde 1900 von Max Planck angegeben, um mit den Mitteln der klassischen statistischen Physik das Spektrum der Wärmestrahlung berechnen zu können. Diese damals als Quantenhypothese bezeichnete Regel lautet: Der Energieaustausch zwischen Materie und elektromagnetischer Strahlung der Frequenz ${\displaystyle \nu }$ findet nur in Quanten der Größe ${\displaystyle h\nu }$ statt, d. h., er ist gequantelt. Darin ist die Konstante ${\displaystyle h}$ das Plancksche Wirkungsquantum.

Die Vorstellung, dass es ein harmonischer Oszillator ist, dem das elektromagnetische Feld Energie zuführt oder abnimmt, leitet zur Aussage, dass er nicht mit beliebig wählbarer Energie angeregt sein kann, sondern nur Zustände mit diskreten äquidistanten Energieniveaus im Abstand ${\displaystyle \Delta E=h\nu }$ besitzt. Diese Auswahl aus dem Kontinuum der klassisch erlaubten Zustände lässt sich aus der allgemeineren Annahme herleiten, jeder Zustand beanspruche im Phasenraum ein Volumen der Größe ${\displaystyle h}$ (pro Raumdimension). Gleichbedeutend ist die Forderung, das Phasenintegral eines Zustands könne für jede Koordinate nur ganzzahlige Vielfache von ${\displaystyle h}$ annehmen (Bohr-Sommerfeldsche Quantenbedingung):

${\displaystyle \oint p\,dq=nh}$, (${\displaystyle n=0,\,1,\,2\,\ldots }$)

Darin ist ${\displaystyle q}$ eine (verallgemeinerte) Ortskoordinate und ${\displaystyle p}$ der zugehörige (kanonische) Impuls, im Sinne der klassischen Mechanik in ihrer Formulierung nach Hamilton oder Lagrange.

Quantenmechanik (ab 1925)

Die Quantenmechanik modifiziert die Hamiltonsche Mechanik dahingehend, dass die kanonisch konjugierten Orts- und Impulskoordinaten nicht mehr Zahlenwerten („c-Zahl“ für „classical number)“ entsprechen, sondern Operatoren („q-Zahl“ für „quantum number“). Diese Modifikation wird auch 1. Quantisierung oder kanonische Quantisierung genannt.

Die Hamilton-Funktion wird dadurch zum Hamilton-Operator. Solche Größen heißen Observablen, ihre möglichen Messwerte sind durch die Eigenwerte des zugehörigen Operators gegeben, die je nach Operator kontinuierlich oder diskret verteilt (gequantelt) sein können. Die Abweichungen von den Ergebnissen der klassischen Mechanik ergeben sich dadurch, dass diese Operatoren in Produkten nicht miteinander vertauschbar sind. Insbesondere wird die Bohr-Sommerfeldsche Quantenbedingung als Näherung erhalten.

Quantenelektrodynamik (ab 1927)

Die Quantenelektrodynamik geht von den klassischen Feldgleichungen (hier den Maxwell-Gleichungen) in hamiltonscher Form aus und quantisiert sie nach dem Vorbild der 1. Quantisierung. Aus den Operatoren für die Feldstärke und dem zugehörigen kanonischen Impuls lassen sich Auf- und Absteigeoperatoren bilden, die die Energie des Feldes um jeweils ${\displaystyle h\nu \ (=\hbar \omega )}$ verändern. Darin ist ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und ${\displaystyle \omega }$ die Kreisfrequenz.

Das ist wie bei den Orts- und Impulsoperatoren des harmonischen Oszillators, hat hier aber die Bedeutung einer Vermehrung oder Verminderung der Anzahl der Photonen, d. h. der Feldquanten des elektromagnetischen Feldes. In gewissem Sinne wird hier also die Teilchenzahl selber zu einer quantentheoretischen Messgröße (Observable) mit gequantelten Eigenwerten, weshalb für das ganze Verfahren die Bezeichnung 2. Quantisierung gebraucht wird.

Andere Quantenfeldtheorien (ab 1934)

Da nicht nur Photonen, sondern alle Teilchen erzeugt und vernichtet werden können, werden sie in der Quantenfeldtheorie als Feldquanten ihrer jeweiligen Felder behandelt. Falls für die Hamilton-Funktion (bzw. Lagrange-Funktion) des betreffenden Feldes keine klassischen Vorbilder existieren, wird diese in Form eines Ansatzes an den Anfang der theoretischen Behandlung gestellt. Die Quantisierung erfolgt nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik, indem Auf- und Absteigeoperatoren eingeführt werden. Sie werden hier als Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperator bezeichnet.

Die Vertauschungsregeln, denen sie genügen, werden festgelegt:

• entweder wie in der Quantenelektrodynamik als Kommutatoren, dann ergeben sich die Feldquanten als Bosonen,
• oder mit einem Vorzeichenwechsel als Antikommutatoren, dann ergeben sich die Feldquanten als Fermionen.

Dieses Verfahren wird als kanonische Feldquantisierung bezeichnet.

Deformationsquantisierung (ab 1970er)

Die Deformationsquantisierung (auch Phasenraumformulierung der Quantenmechanik) ist eine Quantisierungsmethode, bei der durch Deformation der zugrundeliegenden Geometrie, durch Ersetzen des Produkts der klassischen Observablen mit einem nicht-kommutativen Sternprodukt und der Deformierung der Poisson-Klammern zu passenden Lie-Klammern, eine Quantisierung des klassischen Hamiltonischen System entsteht. Die Quantenzustände werden durch eine Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Phasenraum beschrieben.