Details

Im Folgenden werden verschiedene Eigenschaften von ${\displaystyle N}$ abgeleitet. Die Eigenzustände ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ seien normiert.

• Der Besetzungszahloperator ist hermitesch, also selbstadjungiert:

${\displaystyle N^{\dagger }=(a^{\dagger }a)^{\dagger }=a^{\dagger }a^{\dagger \dagger }=a^{\dagger }a=N}$

Somit hat ${\displaystyle N}$ reelle Eigenwerte, die Besetzungszahlen ${\displaystyle n}$.

• Die Eigenwerte sind nicht negativ: ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle n=\left\langle n|N|n\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n\right\rangle =\left\langle an|an\right\rangle =\left\|a\left|n\right\rangle \right\|^{2}\geq 0}$

Die Ungleichung folgt aus der Tatsache, dass die Norm eines Vektors nicht-negativ ist.

• Der kleinste Eigenwert ist 0

Der Zustand ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ ist ein Vektor im Hilbertraum und darf nicht mit dem Nullvektor verwechselt werden, sondern wird lediglich mit der Zahl 0 nummeriert.

${\displaystyle a^{\dagger }a\left|0\right\rangle =0\left|0\right\rangle =0}$   und   ${\displaystyle \left\langle 0|0\right\rangle =1}$

Wegen ${\displaystyle n\geq 0}$ muss gelten: ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$. Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor. Dies lässt sich aber nicht umkehren: Durch Anwendung von ${\displaystyle a^{\dagger }}$ auf den Nullvektor erhält man nicht den Grundzustand, sondern wieder den Nullvektor.

• Die Eigenwerte sind ganzzahlig: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$

Angenommen die Eigenwerte wären nicht ganzzahlig, so ließen sich ausgehend von einem Eigenzustand durch mehrmalige Anwendung des Absteigeoperators Eigenzustände finden, die negative Eigenwerte besitzen. Dies ist aber ein Widerspruch zur Bedingung ${\displaystyle n\geq 0}$. Bei ganzzahligen Eigenwerten erreicht man irgendwann den Grundzustand und durch nochmaliges Anwenden den Nullvektor; ab hier bricht automatisch die Leiter ab.

• Ist ${\displaystyle n}$ Eigenwert, dann auch ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle Na^{\dagger }\left|n\right\rangle =\left(a^{\dagger }N+[N,a^{\dagger }]\right)\left|n\right\rangle =\left(a^{\dagger }N+a^{\dagger }\right)\left|n\right\rangle =a^{\dagger }\left(N+1\right)\left|n\right\rangle =a^{\dagger }\left(n+1\right)\left|n\right\rangle =\left(n+1\right)a^{\dagger }\left|n\right\rangle }$

Wenn ${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle }$ ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert ${\displaystyle (n+1)}$.

${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle }$ ist also Eigenzustand zu ${\displaystyle N}$ mit Eigenwert ${\displaystyle (n+1)}$ und somit proportional zu ${\displaystyle \left|n+1\right\rangle }$:

${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle =c_{n}^{+}\left|n+1\right\rangle }$

• Ist ${\displaystyle n>0}$ Eigenwert, dann auch ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle Na\left|n\right\rangle =\left(aN+\left[N,a\right]\right)\left|n\right\rangle =\left(aN-a\right)\left|n\right\rangle =a\left(N-1\right)\left|n\right\rangle =a\left(n-1\right)\left|n\right\rangle =\left(n-1\right)a\left|n\right\rangle }$

Wenn ${\displaystyle a\left|n\right\rangle }$ ungleich dem Nullvektor ist, erhält man somit einen neuen Eigenwert ${\displaystyle (n-1)}$.

${\displaystyle a^{\,}\left|n\right\rangle }$ ist also Eigenzustand zu ${\displaystyle N}$ mit Eigenwert ${\displaystyle (n-1)}$ und somit proportional zu ${\displaystyle \left|n-1\right\rangle }$:

${\displaystyle a\,\left|n\right\rangle =c_{n}^{-}\left|n-1\right\rangle }$

Details

• Zunächst ist zu prüfen, ob die obigen Voraussetzungen erfüllt werden:

${\displaystyle [N,a]=[a^{\dagger }a,a]=\underbrace {[a^{\dagger },a]} _{-1}a+a^{\dagger }\underbrace {[a,a]} _{0}=-a}$

${\displaystyle [N,a^{\dagger }]=[a^{\dagger }a,a^{\dagger }]=\underbrace {[a^{\dagger },a^{\dagger }]} _{0}a+a^{\dagger }\underbrace {[a,a^{\dagger }]} _{1}=a^{\dagger }}$

• Mit ${\displaystyle a^{\dagger }}$ lässt sich der nächste über ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ liegende Zustand konstruieren ${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle =c\left|n+1\right\rangle }$. Der Faktor ${\displaystyle c}$ ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Kommutator ${\displaystyle aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=1}$:

${\displaystyle \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n+1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a^{\dagger }\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle a^{\dagger }n|a^{\dagger }n\right\rangle =\left\langle n|aa^{\dagger }|n\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a+1|n\right\rangle =\left\langle n|N+1|n\right\rangle =n+1}$

${\displaystyle c={\sqrt {n+1}}e^{i\varphi }}$, die Phase ${\displaystyle \varphi }$ kann aber vernachlässigt werden, sodass ${\displaystyle c={\sqrt {n+1}}}$.

• Mit ${\displaystyle a}$ lässt sich der unter ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ liegende Zustand konstruieren ${\displaystyle a\left|n\right\rangle =c\left|n-1\right\rangle }$. Der Faktor ${\displaystyle c}$ ergibt sich aus folgender Rechnung:

${\displaystyle \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n-1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle an|an\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n\right\rangle =\left\langle n|N|n\right\rangle =n\quad \Rightarrow \quad c={\sqrt {n}}}$

• Alle Eigenzustände lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren:

${\displaystyle \left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle \ ,\quad n\in \mathbb {N} _{0}}$

Auf diese Weise erhält man einen vollständigen diskreten Satz von Eigenzuständen

Details

• Mit ${\displaystyle a\,a=0}$ und ${\displaystyle a^{\dagger }a^{\dagger }=0}$ ist ${\displaystyle N^{2}=N}$:

${\displaystyle N^{2}=a^{\dagger }aa^{\dagger }a=a^{\dagger }(\underbrace {\{a,a^{\dagger }\}} _{1}-a^{\dagger }a)a=a^{\dagger }a-\underbrace {a^{\dagger }a^{\dagger }} _{0}\underbrace {aa} _{0}=a^{\dagger }a=N}$

Der Besetzungszahloperator hat also nur die Eigenwerte 0 und 1 und die Eigenzustände ${\displaystyle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |1\rangle }$:

${\displaystyle n^{2}\left|n\right\rangle =N^{2}\left|n\right\rangle =N\left|n\right\rangle =n\left|n\right\rangle \quad \Rightarrow \quad n^{2}=n\quad \Rightarrow \quad n\in \{0,1\}}$

• Zunächst ist zu prüfen, ob die obigen Voraussetzungen erfüllt werden:

${\displaystyle [N,a]=[a^{\dagger }a,a]=\underbrace {[a^{\dagger },a]} _{2a^{\dagger }a-\{a,a^{\dagger }\}}a+a^{\dagger }\underbrace {[a,a]} _{0}=2a^{\dagger }\underbrace {aa} _{0}-\underbrace {\{a,a^{\dagger }\}} _{1}a=-a}$

${\displaystyle [N,a^{\dagger }]=[a^{\dagger }a,a^{\dagger }]=\underbrace {[a^{\dagger },a^{\dagger }]} _{0}a+a^{\dagger }\underbrace {[a,a^{\dagger }]} _{\{a,a^{\dagger }\}-2a^{\dagger }a}=a^{\dagger }\underbrace {\{a,a^{\dagger }\}} _{1}-2\underbrace {a^{\dagger }a^{\dagger }} _{0}a=a^{\dagger }}$

• Mit ${\displaystyle a^{\dagger }}$ lässt sich der nächste über ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ liegende Zustand konstruieren ${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle =c\left|n+1\right\rangle }$. Der Faktor ${\displaystyle c}$ ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Anti-Kommutator ${\displaystyle aa^{\dagger }+a^{\dagger }a=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n+1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a^{\dagger }\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle a^{\dagger }n|a^{\dagger }n\right\rangle =\left\langle n|aa^{\dagger }|n\right\rangle =\left\langle n|1-a^{\dagger }a|n\right\rangle =\left\langle n|1-N|n\right\rangle =1-n\\&\Rightarrow \quad c={\sqrt {1-n}}\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle n}$ nur 0 oder 1 sein kann, ist ${\displaystyle c={\sqrt {1-n}}=1-n=\delta _{0,n}}$ (dabei ist ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ das Kronecker-Delta).

• Mit ${\displaystyle a}$ lässt sich der unter ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ liegende Zustand konstruieren ${\displaystyle a\left|n\right\rangle =c\left|n-1\right\rangle }$. Der Faktor ${\displaystyle c}$ ergibt sich aus folgender Rechnung:

${\displaystyle \left|c\right|^{2}=\left\Vert c\left|n-1\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\Vert a\left|n\right\rangle \right\Vert ^{2}=\left\langle an|an\right\rangle =\left\langle n|a^{\dagger }a|n\right\rangle =\left\langle n|N|n\right\rangle =n\quad \Rightarrow \quad c={\sqrt {n}}}$

Da ${\displaystyle n}$ nur 0 oder 1 sein kann, ist ${\displaystyle c={\sqrt {n}}=n=\delta _{1,n}}$.

• Alle Eigenzustände lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren:

${\displaystyle \left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle \ ,\quad n\in \{0,1\}}$

Auf diese Weise erhält man einen vollständigen diskreten Satz von Eigenzuständen

Hamiltonoperator umformen

Der Hamiltonoperator lässt sich umformen:

${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}Q^{2}}{2}}=\hbar \omega \left({\frac {P^{2}}{2\hbar m\omega }}+{\frac {m\omega Q^{2}}{2\hbar }}\right)}$

Es werden zwei neue Operatoren definiert:

${\displaystyle {\tilde {P}}:={\frac {P}{\sqrt {2\hbar m\omega }}}}$   und   ${\displaystyle {\tilde {Q}}:={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}Q}$

Der Hamiltonoperator ausgedrückt mit den neuen Operatoren:

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\tilde {P}}^{2}+{\tilde {Q}}^{2}\right)}$

Man versucht nun, den Inhalt der Klammer als Produkt zu schreiben, also (${\displaystyle i}$ ist die imaginäre Einheit)

${\displaystyle \left(u-iv\right)\left(u+iv\right)=u^{2}+v^{2}+iuv-ivu=u^{2}+v^{2}}$

Da aber ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ Operatoren sind, die nicht vertauschen, gilt hier das letzte Gleichheitszeichen nicht.

Um zwei Operatoren miteinander zu vertauschen, ist der Kommutator vonnöten: ${\displaystyle {\tilde {Q}}{\tilde {P}}={\tilde {P}}{\tilde {Q}}-\left[{\tilde {P}},{\tilde {Q}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}\right)\\&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}+i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\\&=&\hbar \omega \left({\tilde {Q}}^{2}+{\tilde {P}}^{2}+i{\tilde {Q}}{\tilde {P}}-i{\tilde {P}}{\tilde {Q}}-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\\&=&\hbar \omega \left(({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}})({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}})-i\left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]\right)\end{array}}}$

Der Kommutator ${\displaystyle \left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]}$ kann auf den Kommutator der ursprünglichen Operatoren ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle P}$ zurückgeführt werden:

${\displaystyle \left[{\tilde {Q}},{\tilde {P}}\right]={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\frac {1}{\sqrt {2\hbar m\omega }}}\underbrace {\left[Q,P\right]} _{i\hbar }={\frac {i}{2}}}$

Der Hamiltonoperator sieht nun folgendermaßen aus:

${\displaystyle H=\hbar \omega \underbrace {\left({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}\right)} _{a^{\dagger }}\underbrace {\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)} _{a}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega }$

Jetzt werden die beiden Leiteroperatoren definiert:

${\displaystyle a^{\dagger }:={\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}}$   Erzeugungsoperator

${\displaystyle a:={\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}}$   Vernichtungsoperator

Häufig werden sie auch als ${\displaystyle a_{+}}$ und ${\displaystyle a_{-}}$ geschrieben. Man beachte, dass die Leiteroperatoren nicht hermitesch sind, da ${\displaystyle a\neq a^{\dagger }}$.

Die Leiteroperatoren ausgedrückt durch Ortsoperator ${\displaystyle Q}$ und Impulsoperator ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle a^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(Q-{\frac {i}{m\omega }}P\right)}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(Q+{\frac {i}{m\omega }}P\right)}$

Umgekehrt ergibt sich für ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$

${\displaystyle P={\frac {1}{i}}{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a-a^{\dagger })}$

Mit den Leiteroperatoren schreibt sich der Hamiltonoperator:

${\displaystyle H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)}$

Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter

Zu bestimmen ist noch der Kommutator aus den beiden Leiteroperatoren:

${\displaystyle \left[a,a^{\dagger }\right]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)\left({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}\right)-\left({\tilde {Q}}-i{\tilde {P}}\right)\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)=2i\left({\tilde {P}}{\tilde {Q}}-{\tilde {Q}}{\tilde {P}}\right)=2i\underbrace {\left[{\tilde {P}},{\tilde {Q}}\right]} _{-i/2}=1}$

Da außerdem ${\displaystyle [a,a]=[a^{\dagger },a^{\dagger }]=0}$ gilt, handelt es sich bei den Kletteroperatoren des harmonischen Oszillators um bosonische Kletteroperatoren. Somit gelten alle obigen Eigenschaften für bosonische Kletteroperatoren.

Das Produkt ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ definiert den Besetzungszahloperator:

${\displaystyle N=a^{\dagger }a}$

Lösung des Eigenwertproblems

Der Hamiltonoperator lässt sich durch den Besetzungszahloperator ausdrücken:

${\displaystyle H=\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}$

Das Eigenwertproblem ${\displaystyle H\left|n\right\rangle =E_{n}\left|n\right\rangle }$ lässt sich auf die Eigenwertgleichung des Besetzungszahloperators ${\displaystyle N\left|n\right\rangle =n\left|n\right\rangle }$ zurückführen.

${\displaystyle \hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =E_{n}\left|n\right\rangle \quad ,\quad \hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle }$

Die Eigenzustände von ${\displaystyle N}$ sind auch Eigenzustände von ${\displaystyle H}$, da ${\displaystyle \left[H,N\right]=0}$. Die Eigenwerte des Hamiltonoperators ergeben sich aus den Eigenwerten des Besetzungszahloperators ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$   und   ${\displaystyle \left|n\right\rangle =\left|n\right\rangle }$

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Kletteroperatoren ist diese:

${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle }$

${\displaystyle a\,\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$

Ist ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie ${\displaystyle E_{n}}$, so ist ${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle }$ eine Lösung für die Energie ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ und ${\displaystyle a\left|n\right\rangle }$ eine Lösung für die Energie ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$. Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach den Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt, das um die Energie ${\displaystyle \hbar \omega }$ verschoben ist.

Da der Besetzungszahloperator keine negativen Eigenwerte hat, können auch keine negativen Energieeigenwerte existieren. Es gibt also für die minimale Besetzungszahl ${\displaystyle n=0}$ eine Lösung ${\displaystyle |0\rangle }$, die auf einem minimalen Energieniveau sitzt (Nullpunktenergie):

${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega }$

Im Zustand ${\displaystyle \left|n\right\rangle }$ setzt sich die Energie ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {1}{2}})}$ zusammen aus der Nullpunktenergie ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ und ${\displaystyle n}$ Energiequanten der Größe ${\displaystyle \hbar \omega }$. Die Wirkung von ${\displaystyle a^{\dagger }}$ überführt das System in einen Zustand mit der um ${\displaystyle \hbar \omega }$ erhöhten Energie. Dies kann man als Erzeugung eines zusätzlichen Energiequants interpretieren, was den Namen Erzeugungsoperator verständlich macht. Analog überführt der Operator ${\displaystyle a}$ das System in einen um ein Energiequant reduzierten Zustand. Es wird also ein Energiequant vernichtet, deswegen Vernichtungsoperator. Die Eigenwerte des Operators ${\displaystyle N}$ geben an, wie viele Energiequanten in einem Eigenzustand angeregt sind. Die Besetzung eines Zustandes mit ${\displaystyle n}$ Energiequanten erklärt den Namen Besetzungszahloperator.

Eigenfunktionen in Ortsdarstellung

Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$. Dies lässt sich aber nicht umkehren: Durch Anwendung von ${\displaystyle a^{\dagger }}$ auf den Nullvektor erhält man nicht den Grundzustand, sondern wieder den Nullvektor ${\displaystyle a^{\dagger }a\left|0\right\rangle =0}$. Dies liefert eine Gleichung für den Grundzustand:

${\displaystyle 0=a\left|0\right\rangle =\left({\tilde {Q}}+i{\tilde {P}}\right)\left|0\right\rangle =\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}Q+i{\frac {P}{\sqrt {2\hbar m\omega }}}\right)\left|0\right\rangle }$

In der Ortsdarstellung kann man obige Operatorgleichung als Differentialgleichung darstellen und lösen: ${\displaystyle \langle x|P|x\rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ und ${\displaystyle \langle x|Q|x\rangle =x}$

${\displaystyle \left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}x+{\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\langle x|0\rangle =0}$   liefert normiert   ${\displaystyle \langle x|0\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)}$

Durch Anwendung des Aufsteigeoperators auf die Lösung des Grundzustands erhält man alle höheren Eigenfunktionen:

${\displaystyle \left|n\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}\left|0\right\rangle }$

In Ortsdarstellung erhält man somit:

${\displaystyle \langle x|n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}x-{\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\langle x|0\rangle }$

Erzeugungsoperator

Vor und nach dem Erzeugungsoperator wird eine 1 (Einheitsoperator) eingeschoben:

${\displaystyle a^{\dagger }=\sum \limits _{m,n=0}^{\infty }{\left|m\right\rangle \underbrace {\left\langle m\right|a^{\dagger }\left|n\right\rangle } _{a_{mn}^{\dagger }}\left\langle n\right|}}$

Das Matrixelement berechnet sich zu

${\displaystyle a_{mn}^{\dagger }=\left\langle m\right|a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left\langle m|n+1\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\ \delta _{m,n+1}}$

Der Erzeugungsoperator dargestellt durch die Basisvektoren

${\displaystyle a^{\dagger }=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\left|n+1\right\rangle {\sqrt {n+1}}\left\langle n\right|}}$

Somit ergibt sich die Matrixdarstellung des Erzeugungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis (alle nicht angegebenen Elemente sind gleich 0):

${\displaystyle a^{\dagger }=\left({\begin{matrix}0&{}&{}&{}&{}\\{\sqrt {1}}&0&{}&{}&{}\\{}&{\sqrt {2}}&0&{}&{}\\{}&{}&{\sqrt {3}}&0&{}\\{}&{}&{}&\ddots &\ddots \\\end{matrix}}\right)}$

Vernichtungsoperator

Durch analoge Rechnung erhält man für den Vernichtungsoperator:

${\displaystyle a=\sum \limits _{m,n=0}^{\infty }{\left|m\right\rangle \underbrace {\left\langle m\right|a\left|n\right\rangle } _{a_{mn}}\left\langle n\right|}=\sum \limits _{m,n=0}^{\infty }{\left|m\right\rangle {\sqrt {n}}\ \delta _{m+1,n}\left\langle n\right|}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\left|n\right\rangle {\sqrt {n+1}}\ \left\langle n+1\right|}}$

Dabei wurde das Matrixelement schon eingesetzt:

${\displaystyle a_{mn}=\left\langle m\right|a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left\langle m|n-1\right\rangle ={\sqrt {n}}\ \delta _{m,n-1}={\sqrt {n}}\ \delta _{m+1,n}}$

Matrixdarstellung des Vernichtungsoperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

${\displaystyle a=\left({\begin{matrix}0&{\sqrt {1}}&{}&{}&{}\\{}&0&{\sqrt {2}}&{}&{}\\{}&{}&0&{\sqrt {3}}&{}\\{}&{}&{}&0&\ddots \\{}&{}&{}&{}&\ddots \\\end{matrix}}\right)}$

Man erkennt, dass die Matrix ${\displaystyle a^{\dagger }}$ genau die Transponierte von ${\displaystyle a}$ ist. Dies ist verständlich, da die beiden Operatoren zueinander adjungiert (= transponiert + komplex konjugiert) sind.

Einfaches Beispiel

Beispiele mit Orthonormalbasen ${\displaystyle \left|0\right\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}},\ \left|1\right\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \end{pmatrix}},\ \ldots }$ Matrixformen von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&\ldots \\0&0&{\sqrt {2}}&\ldots \\0&0&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots \\{\sqrt {1}}&0&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a\left|1\right\rangle ={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&\ldots \\0&0&{\sqrt {2}}&\ldots \\0&0&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}}=\left|0\right\rangle }$

${\displaystyle a^{\dagger }\left|0\right\rangle ={\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots \\{\sqrt {1}}&0&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \end{pmatrix}}=\left|1\right\rangle }$

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Besetzungszahloperator

Matrixelement des Besetzungszahloperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

${\displaystyle N_{mn}=\left\langle m\right|N\left|n\right\rangle =n\left\langle m|n\right\rangle =n\ \delta _{m,n}}$

alternativ mit den Leiteroperatoren:

${\displaystyle N_{mn}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{a_{mk}^{\dagger }a_{kn}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\underbrace {{\sqrt {k+1}}\ \delta _{m,k+1}} _{a_{mk}^{\dagger }}\underbrace {{\sqrt {n}}\ \delta _{k+1,n}} _{a_{kn}}}=n\ \delta _{m,n}}$

Matrixdarstellung des Besetzungszahloperators bzgl. der Besetzungseigenbasis:

${\displaystyle N=\left({\begin{matrix}0&{}&{}&{}\\{}&1&{}&{}\\{}&{}&2&{}\\{}&{}&{}&\ddots \\\end{matrix}}\right)}$

Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators

Matrixelement des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

${\displaystyle H_{mn}=\left\langle m\right|H\left|n\right\rangle =\left\langle m\right|\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left\langle m|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\delta _{m,n}}$

Matrixdarstellung des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}&{}&{}&{}\\{}&1+{\frac {1}{2}}&{}&{}\\{}&{}&2+{\frac {1}{2}}&{}\\{}&{}&{}&\ddots \\\end{matrix}}\right)}$

Da die Operatoren ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle H}$ hermitesch sind, folgt, dass die zugehörigen Matrizen bzgl. der Eigenbasen symmetrisch sind.

Bezug zu Diagrammtechniken

Konkrete Rechnungen unter Verwendung der Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren kann man in der Regel durch Diagrammtechniken unterstützen (→ Feynman-Diagramme). So kann man z. B. Dreiteilchen-Wechselwirkungen der Form ${\displaystyle \gamma _{1,2;3}\,a_{1}^{-}a_{2}^{-}a_{3}^{+}}$ durch drei Linien veranschaulichen, von denen die ersten zwei in einen Vertex einlaufen und dort „vernichtet“ werden, während eine dritte Linie an diesem Vertex „erzeugt“ wird und von ihm ausläuft. Dabei sind in den zugehörigen Regeln Energie- und Impulssatz explizit zu berücksichtigen.

Der angegebene Term, der einen sog. „Konfluenzprozess“ beschreibt, hat bei tiefen Temperaturen i. A. geringere Wahrscheinlichkeit, ${\displaystyle \propto |\gamma _{1,\,2;\,3}|^{2}\cdot \{\langle n_{1}\rangle \,\langle n_{2}\rangle \,(1+\langle n_{3}\rangle \}\,,}$ als der inverse sog. „Splitting-Prozess“, der zum adjungierten Term, ${\displaystyle \gamma _{1,2;3}^{*}\,a_{3}^{-}a_{2}^{+}a_{1}^{+}\,,}$ gehört. Denn zu jedem Erzeugungsoperator ${\displaystyle a_{i}^{+}}$ korrespondiert, analog zum harmonischen Oszillator, die Übergangsrate ${\displaystyle \propto |\gamma _{\,i,\dots }^{*}|^{2}\cdot (1+\langle n_{i}\rangle )}$, während beim zugehörigen Vernichtungsoperator  der Term ${\displaystyle \propto 1}$ fehlt. Auf diese Weise sind bei tiefen Temperaturen die letztgenannten Terme in der Regel wichtiger als die erstgenannten.