Polarkoordinaten

Im Polarkoordinatensystem wird jeder Punkt der Ebene durch eine Radialkoordinate ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$ und eine Winkelkoordinate ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]}$ beschrieben. Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ erfolgt durch die Koordinatentransformation

${\displaystyle x=r\cdot \cos \theta }$

${\displaystyle y=r\cdot \sin \theta }$

Im Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ erhält man dabei eine Koordinatensingularität: ist ${\displaystyle r=0}$, so ist das Ergebnis der Transformation unabhängig von der Winkelkoordinate ${\displaystyle \theta }$. In Polarkoordinaten hat der Nullpunkt damit keine eindeutige Darstellung. Erweitert man Polarkoordinaten um eine Höhenkoordinate ${\displaystyle h}$, die den Abstand von der Ebene des Polarkoordinatensystems angibt,

${\displaystyle z=h}$

erhält man Zylinderkoordinaten des Raumes, die an allen Punkten ${\displaystyle (0,0,z)}$ singulär sind.

Kugelkoordinaten

Im Kugelkoordinatensystem wird jeder Punkt des Raums durch eine Radialkoordinate ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$ und zwei Winkelkoordinaten ${\displaystyle \phi \in (-\pi ,\pi ]}$ und ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ beschrieben. Die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ erfolgt durch die Koordinatentransformation

${\displaystyle x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\cdot \cos \theta }$

Man erhält durch diese Transformation die folgenden Koordinatensingularitäten:

• ist ${\displaystyle \theta =0}$, so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt ${\displaystyle (0,0,r)}$ auf der positiven z-Achse unabhängig von der Winkelkoordinate ${\displaystyle \varphi }$
• ist ${\displaystyle \theta =\pi }$, so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt ${\displaystyle (0,0,-r)}$ auf der negativen z-Achse unabhängig von der Winkelkoordinate ${\displaystyle \varphi }$
• ist ${\displaystyle r=0}$, so ist das Ergebnis der Transformation der Nullpunkt ${\displaystyle (0,0,0)}$ unabhängig von beiden Winkelkoordinaten ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \theta }$

In Kugelkoordinaten hat somit die gesamte z-Achse keine eindeutige Darstellung. Durch Setzen von ${\displaystyle r=1}$ erhält man sphärische Koordinaten (geographische Koordinaten) auf der Kugeloberfläche, die nur an den beiden Polen ${\displaystyle (0,0,1)}$ und ${\displaystyle (0,0,-1)}$ singulär sind.