Definition über die Exponentialfunktion

Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen. Sie werden daher häufig benutzt.

${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

${\displaystyle \sinh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

${\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

${\displaystyle \cosh(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}$

Definition über Reihenentwicklung

Die Taylorreihen mit dem Entwicklungspunkt z=0 unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes. Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert; bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\sinh(z)&=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos(z)&=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\\\cosh(z)&=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$

Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}$ speziell auch ${\displaystyle 0!=1}$

Kreis und Hyperbel

Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ beschreiben. u sei die eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen y(x) und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph. Für die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem halben Winkel im Bogenmaß zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x-Achse. Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis, also einer Fläche von u=π/4, ein Winkel von π/2. Man erhält somit bei der Umkehrung der Winkelfunktion einen Bogen (Arcus), daher: Arkussinus und Arkuskosinus. Für die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Fläche. Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Fläche: Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus.

Kreisfunktionen:

${\displaystyle \sin ^{2}(u)+\cos ^{2}(u)=1\quad {\text{mit}}\quad y=\sin(u)\quad {\text{und}}\quad x=\cos(u)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \quad {\text{Kreisgleichung}}\quad y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Hyperbelfunktionen:

${\displaystyle \cosh ^{2}(u)-\sinh ^{2}(u)=1\quad {\text{mit}}\quad y=\sinh(u)\quad {\text{und}}\quad x=\cosh(u)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \quad {\text{Hyperbelgleichung}}\quad y=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}$

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}\sin(i\cdot z)&=&i\cdot \sinh(z)\\\sinh(i\cdot z)&=&i\cdot \sin(z)\\\cos(i\cdot z)&=&\cosh(z)\\\cosh(i\cdot z)&=&\cos(z)\end{array}}}$

beziehungsweise:

${\displaystyle {\begin{array}{rcr}\sin(z)&=&-i\cdot \sinh(i\cdot z)\\\sinh(z)&=&-i\cdot \sin(i\cdot z)\\\cos(z)&=&\cosh(i\cdot z)\\\cosh(z)&=&\cos(i\cdot z)\end{array}}}$

Eine andere Möglichkeit, die Kreis- und Hyperbelfunktionen ineinander umzuwandeln, bietet die Gudermannfunktion. Der Vorteil ist dabei, dass der Umweg über die Komplexen Zahlen vermieden werden kann.

${\displaystyle \sinh(x)=\tan(\operatorname {gd} (x))\ }$

${\displaystyle \cosh(x)=\sec(\operatorname {gd} (x))\ }$

${\displaystyle \tanh(x)=\sin(\operatorname {gd} (x))\ }$

${\displaystyle \operatorname {sech} (x)=\cos(\operatorname {gd} (x))\ }$

${\displaystyle \operatorname {csch} (x)=\cot(\operatorname {gd} (x))\ }$

${\displaystyle \coth(x)=\csc(\operatorname {gd} (x))\ }$

Ableitungen

Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin '(z)&=&\cos(z)\\\sinh '(z)&=&\cosh(z)\\\cos '(z)&=&-\sin(z)\\\cosh '(z)&=&\sinh(z)\end{matrix}}}$

Additionstheoreme (Goniometrische Beziehungen)

Für die Kreis- wie auch für die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme:

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin(x\pm y)&=&\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=&\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&=&\displaystyle {\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sinh(x\pm y)=\sinh(x)\cosh(y)\pm \cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \cosh(x\pm y)=\cosh(x)\cosh(y)\pm \sinh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \tanh(x\pm y)={\frac {\tanh(x)\pm \tanh(y)}{1\pm \tanh(x)\tanh(y)}}}$

${\displaystyle \sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin(x)-\sin(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh(x)+\sinh(y)=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh(x)-\sinh(y)=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cosh(x)+\cosh(y)=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cosh(x)-\cosh(y)=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cdot \sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cos(x-y)-\cos(x+y){\Big ]}}$

${\displaystyle \cos(x)\cdot \cos(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cos(x-y)+\cos(x+y){\Big ]}}$

${\displaystyle \sin(x)\cdot \cos(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\sin(x-y)+\sin(x+y){\Big ]}}$

${\displaystyle \sinh(x)\cdot \sinh(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cosh(x+y)-\cosh(x-y){\Big ]}}$

${\displaystyle \cosh(x)\cdot \cosh(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\cosh(x+y)+\cosh(x-y){\Big ]}}$

${\displaystyle \sinh(x)\cdot \cosh(y)={\frac {1}{2}}{\Big [}\sinh(x+y)+\sinh(x-y){\Big ]}}$

Für weitere Beziehungen siehe auch die Formelsammlung Trigonometrie.