Definitionen

Ein Kettenbruch ${\displaystyle b_{0}+{\frac {a_{1}|}{|b_{1}}}+{\frac {a_{2}|}{|b_{2}}}+{\frac {a_{3}|}{|b_{3}}}+\cdots }$ heißt halbregelmäßig, wenn die Teilzähler ${\displaystyle a_{n}=\pm 1}$, die Teilnenner ${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots \in \mathbb {N} }$ sind, sowie für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt:

${\displaystyle b_{n}+a_{n+1}\geq 1.}$

Falls der Kettenbruch nicht endlich ist, wird üblicherweise außerdem verlangt, dass für unendlich viele n sogar ${\displaystyle b_{n}+a_{n+1}\geq 2}$ gilt.

Ein halbregelmäßiger Kettenbruch mit ${\displaystyle b_{n}\geq 2,b_{n}+a_{n}\geq 2}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ heißt singulär,

und ein halbregelmäßiger Kettenbruch mit ${\displaystyle b_{n}\geq 2,b_{n}+a_{n+1}\geq 2}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$ heißt Kettenbruch nach nächsten Ganzen.

Satz

Der Satz von Kurosu-Sendov ist eine analoge Aussage zum Satz von Vahlen für reguläre Kettenbrüche und besagt: ist

${\displaystyle \alpha =b_{0}+{\frac {a_{1}|}{|b_{1}}}+{\frac {a_{2}|}{|b_{2}}}+{\frac {a_{3}|}{|b_{3}}}+\cdots }$

eine singuläre Kettenbruchentwicklung oder eine Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen der reellen Zahl ${\displaystyle \alpha }$, so erfüllt von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen mindestens einer die Ungleichung

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{(1+{\sqrt {5}}/2)\,q_{n}^{2}}}.}$

Aufgrund ${\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {5}}/2}}=0{,}4721\ldots <{\frac {1}{2}}}$ ist dies eine stärkere Aussage als im regulären Fall.