Lagrange-Punkt L₁

Der innere Lagrange-Punkt L₁ befindet sich zwischen den beiden betrachteten Körpern auf ihrer Verbindungslinie. Ein Körper, der die Sonne innerhalb der Erdbahn umkreist, hätte normalerweise eine höhere Bahngeschwindigkeit als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Körper geschwächt (die beiden Kräfte wirken entgegengesetzt), wodurch in L₁ die dem Erdumlauf synchrone Umlaufgeschwindigkeit für das Kräftegleichgewicht ausreicht. Dieser Punkt befindet sich ca. 1,5 Mio. km von der Erde entfernt in Richtung Sonne, das entspricht etwa dem vierfachen Abstand Erde – Mond. Ein Blick von L₁ zur Erde zeigt permanent auf die Tagseite, L₁ von der Erde aus gesehen, befindet sich weit vor dem Mittelpunkt des Bildes der Sonne.

Beispiele

• Der innere Lagrange-Punkt L₁ im System Sonne-Erde dient als „Basis“ zur Sonnenbeobachtung. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an diesem Punkt benötigt ungefähr 10 Sekunden hin und zurück.
  • Schon 1978 brach dorthin die Sonde ISEE-3 auf, um ihn bis 1982 zu umkreisen. Sie war die erste Sonde, die einen Lagrangepunkt umkreiste.
  • Seit 1995 umkreist ihn die Sonnenbeobachtungssonde SOHO mit einem Bündel von zwölf Messinstrumenten. Aus der Sicht des mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystems umkreist SOHO den Lagrange-Punkt einmal innerhalb von sechs Monaten im Abstand von rund 255.000 km, um bei der Kommunikation nicht von der Radiostrahlung der Sonne gestört zu werden und den Aufwand für Bahnkorrekturen nicht zu groß werden zu lassen.
  • Der Advanced Composition Explorer (ACE) zur Erforschung von Partikeln aus allen möglichen Quellen im Universum (u. a. der Sonne) umkreist den L₁ seit Anfang 1998.
  • Die Raumsonde Genesis mit Instrumenten zur Erforschung des Sonnenwinds und zum Einfangen seiner Partikel war dort von 2001 bis 2004 positioniert.
  • Seit 2015 befindet sich das Deep Space Climate Observatory auf einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L₁
  • LISA Pathfinder war auf einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L₁

• Der innere Lagrange-Punkt L₁ vom System Erde-Mond ist im Mittel ungefähr 58.000 km vom Massemittelpunkt des Mondes in der Richtung zur Erde hin entfernt, von der Erde aus gesehen etwa bei 6/7 der Entfernung zwischen beiden Himmelskörpern.
  • ARTEMIS, die Verlängerung der THEMIS-Missionen der NASA führten unter anderem zum Lagrange-Punkt L₁ von Erde und Mond.

Lagrange-Punkt L₂

Der äußere Lagrange-Punkt L₂ befindet sich hinter dem kleineren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie. Ursache ist ein ähnlicher Effekt wie im Fall des L₁. Normalerweise wäre außerhalb der Erdbahn die Umlaufdauer länger als die der Erde. Die zusätzliche Anziehung der Erde (Kräfte von Sonne und Erde auf den Körper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kürzere Umlaufdauer, die im L₂ wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist. Dieser Punkt befindet sich in einer Entfernung von ca. 1,5 Mio. km außerhalb der Erdbahn. Ein Blick von L₂ zur Erde zeigt permanent die Nachtseite der Erde, umgeben von einem schmalen Sonnenring. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an L₂ und wieder zurück benötigt ungefähr 10 Sekunden.

Beispiele

• Ein Orbit um den L₂-Punkt des Systems Sonne-Erde bietet Vorteile für Weltraumteleskope, da ein Körper im L₂ beim Umlauf um die Sonne die Orientierung in Bezug zur Erde beibehält und die Sonne somit abschattet.
  • Die WMAP-Raumsonde (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), die die kosmische Hintergrundstrahlung des Urknalls untersuchte, befand sich 2001–2010 in einer Umlaufbahn um den L₂-Punkt des Systems Sonne-Erde.
  • Die ESA stationierte im September 2009 dort das Infrarot-Teleskop Herschel und das Teleskop Planck zur Untersuchung der Hintergrundstrahlung.
  • Seit Januar 2014 umkreist die Astrometrie-Raumsonde Gaia der ESA den L₂.
  • Seit Oktober 2019 ist das Röntgenteleskop eROSITA am L₂ stationiert.
  • Seit dem 24. Januar 2022 ist das James-Webb-Weltraumteleskop in einem Halo-Orbit um L₂.
  • Im Juli 2023 stationierte die ESA das Teleskop Euclid in einem Orbit um diesen L₂-Punkt.
• Der äußere Lagrange-Punkt des Systems Erde-Mond ist im Mittel ungefähr 64.500 km vom Massemittelpunkt des Mondes in Richtung von der Erde weg entfernt.
  • Die ARTEMIS-Missionen der NASA führten 2011 unter anderem zum Lagrange-Punkt L₂ von Erde und Mond.
  • 2018 nahm Queqiao, ein Relais-Satellit der chinesischen Chang’e-4-Mission, einen Halo-Orbit um L₂ ein.

Lagrange-Punkt L₃

Der Lagrange-Punkt L₃ befindet sich (von dem kleineren Körper aus gesehen) hinter dem größeren Körper auf ihrer Verbindungslinie etwas außerhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden Körper. Im Fall Sonne-Erde liegt der dritte Lagrange-Punkt auf der uns gegenüberliegenden Seite der Sonne, knapp 190 km weiter entfernt von der Sonne als die Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskräfte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, die gleich der der Erde ist.

Beispiel

• Ein Raumfahrzeug am L₃ des Systems Sonne-Erde befindet sich hinter der Sonne und Radiosignale von und zu diesem Punkt werden von der Sonne blockiert und durch Radiosignale der Sonne gestört. Eine genaue Positionsbestimmung ist von der Erde aus nicht möglich. Raumfahrzeuge auf erdähnlichen Umlaufbahnen in der Nähe dieses Punkts müssen ihre Daten speichern, bis sie ihre Position bei L₃ verlassen haben und eine Kommunikation wieder möglich ist. Der L₃-Punkt ist also eine sehr ungünstige Position für Raummissionen.
  • Der L₃-Punkt war in Science-Fiction-Büchern und Comics ein beliebter Ort für eine hypothetische (für uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) „Gegenerde“. Da die Masse einer gleichschweren „Gegenerde“ in dem System jedoch nicht mehr zu vernachlässigen wäre, handelte es sich hier um ein etwas anders gelagertes Dreikörperproblem und L₃ läge aus Symmetriegründen exakt auf der Umlaufbahn der Erde.

Lagrange-Punkte L₄ und L₅

Diese beiden Lagrange-Punkte befinden sich jeweils am dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Grundlinie die Verbindungslinie der beiden großen Körper ist. L₄ befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden großen Körper vor ihm, L₅ hinter ihm.

Haben die beiden großen Körper sehr verschiedene Massen, so liegen L₄ und L₅ annähernd auf der Umlaufbahn des mittelgroßen Körpers, 60° davor bzw. dahinter.

Im Gegensatz zu L₁, L₂ und L₃ sind L₄ und L₅ stabil, d. h. in ihrer Nähe können sich Körper auch ohne Bahnkorrektur dauerhaft aufhalten. Daher können an diesen Punkten natürliche Objekte erwartet werden. Ist der Punkt L₄ bzw. L₅ nicht genau getroffen, so beschreibt das entsprechende Objekt eine Umlaufbahn um den Lagrangepunkt. Tatsächlich befinden sich in der Nähe von L₄ und L₅ eine Vielzahl von Staubwolken und Kleinkörpern, insbesondere auf den Umlaufbahnen der großen Planeten. Asteroiden oder Monde, die sich im näheren Umkreis dieser Punkte befinden, werden von Astronomen auch Trojaner oder Trojanermonde genannt. In einer Umlaufbahn um L₄ der Erde befindet sich der 2010 entdeckte 2010 TK₇ sowie der 2020 entdeckte Asteroid (614689) 2020 XL₅. Dieser hat einen Durchmesser von 1 km und ist damit dreimal größer als der 2010 entdeckte Trojaner.

Beispiele

• System Sonne-Jupiter (Jupitertrojaner): In der Umgebung der Punkte L₄ und L₅ des Jupiter halten sich die (erstmals bei Jupiter so genannten) Trojaner auf, eine Gruppe von Asteroiden. Sie haben dieselbe Umlaufperiode wie Jupiter, eilen ihm aber im Mittel 60° vor bzw. nach und umkreisen dabei die Punkte L₄ und L₅ periodisch in weiten Bögen. Bislang sind in L₄ und L₅ circa 8000 beziehungsweise über 4000 Trojaner bekannt und in den Asteroidenlisten des Minor Planet Center erfasst, die Gesamtzahl wird auf einige Zehntausend geschätzt. Die Jupitertrojaner im Bereich des Lagrange-Punktes L₄ werden auch als Griechen bezeichnet. Der erste Trojaner (588) Achilles wurde 1906 von Max Wolf entdeckt. Der weitaus größte Trojaner dürfte der 1907 entdeckte (624) Hektor sein, ein unregelmäßig geformter Asteroid von 416 km × 131 km × 120 km Ausdehnung.
  • Die Lucy-Raumsonde wurde 2021 gestartet und soll diverse Jupitertrojaner bei L₄ und L₅ aus der Nähe beobachten.

• System Sonne-Mars:
  • 1990 wurde auch im Librationspunkt L₅ des Mars ein Mars-Trojaner entdeckt, der (5261) Eureka getauft wurde. Mittlerweile hat man acht weitere Mars-Trojaner entdeckt, davon einen im L₄-Punkt.

• System Sonne-Neptun:
  • Ende 2001 fand man auch 60° vor Neptun einen Trojaner. Mit dem 4-m-Spiegelteleskop am Cerro Tololo aufgenommen, erhielt er den provisorischen Namen (612243) 2001 QR₃₂₂, war aber erst nach einem Jahr „gesichert“. Er umrundet die Sonne wie Neptun in 166 Erdjahren.
  • 2010 wurde dann auch erstmals ein Neptuntrojaner im Lagrangepunkt L₅, 60° hinter Neptun, nachgewiesen, 2008 LC₁₈.
  • Mit Stand August 2022 waren 27 in L4 und 4 in L5 bekannt.

• System Sonne-Uranus:
  • Mit 2011 QF₉₉ wurde ein Uranustrojaner in L₄ gefunden.

• System Sonne-Erde (Erdbegleiter):
  • Für die Erde wurde von Astronomen der Athabasca University in Kanada im Jahr 2010 der bis dahin einzig bekannte Trojaner entdeckt, der Asteroid 2010 TK₇. Die Entdeckung wurde im Juli 2011 veröffentlicht. Er bewegt sich um den Lagrange-Punkt L₄.
  • Im Dezember 2020 spürte das Pan-STARRS-Teleskop einen weiteren verdächtigen Lichtpunkt am Lagrangepunkt 4 auf, die Beobachtung wurde vom SOAR-Teleskop auf dem Cerro Pachon in Chile bestätigt: nach diesen Untersuchungen könnte dieser Asteroid einen Durchmesser von 1,2 Kilometer haben und damit rund dreimal größer sein als 2010 TK7. <Quelle: NOIRLab>
  • In den 1950ern wurden Staubwolken in den L₄- und L₅-Punkten des Systems Sonne-Erde gefunden.
  • Die geplante Mission ESA Vigil soll sich bei L₅ aufhalten und von dort die Sonne beobachten und Informationen über das Weltraumwetter sammeln. Es ist bisher die einzige Weltraummission, die an L₄ oder L₅ stationiert werden soll.
• System Erde-Mond
  • In den L₄- und L₅-Punkten des Systems Erde-Mond wurden ebenfalls sehr schwache Staubwolken gefunden, die Kordylewskischen Wolken, die noch schwächer als der lichtschwache Gegenschein ausgeprägt sind.
  • Jedoch gibt es einige Asteroiden, die sich auf einer sogenannten Hufeisenumlaufbahn zusammen mit der Erde (also einer mittleren Umlaufdauer von einem Jahr) um die Sonne bewegen. Der Übergang von einem Trojaner zu einer Hufeisenbahn ist fließend: Wenn der Abstand eines Trojaners zum L₄- oder L₅-Punkt zu groß ist, dann wird er einmal auf der Erdbahn den der Erde entgegengesetzten Punkt überschreiten und dann in Richtung des anderen Lagrange-Punktes wandern. Insbesondere die Bahn des am 9. Januar 2002 mit Hilfe der automatischen Himmelsüberwachung LINEAR (Lincoln Near Earth Asteroid Research) entdeckten Asteroiden 2002 AA₂₉ (ein Objekt mit nicht einmal 100 m Durchmesser) ist bemerkenswert. Er umkreist die Sonne auf einer der Erdbahn sehr ähnlichen Umlaufbahn, wobei er vom mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystem aus gesehen entlang der Erdbahn im Lauf von 95 Jahren einen Bogen von fast 360° beschreibt, den er in weiteren 95 Jahren wieder zurückschwingt. Die Form des Bogens erinnert an ein Hufeisen, daher der Name Hufeisenbahn. Die stabilste derzeit bekannte Hufeisenbahn eines Erdbegleiters besitzt (419624) 2010 SO₁₆.

• Mondsystem des Saturns (Koorbitale Monde, Trojanermonde):
  • Weitere Trojaner gibt es im Mondsystem des Saturns. So hat der Saturnmond Tethys die kleinen Monde Telesto in seinem L₄- und Calypso in seinem L₅-Punkt.
  • Der Saturnmond Dione hat die Monde Helene und Polydeuces in seinem L₄- bzw. L₅-Punkt.

Lagrange-Punkte L₁ bis L₃

Die Positionen lassen sich analytisch herleiten, wenn man die drei Massen auf einer rotierenden Linie anordnet und für jede der drei Massen fordert, dass die gravitative Anziehung der beiden anderen Massen sie auf einer Kreisbahn hält. Dies führt jedoch zu Gleichungen fünften Grades.

Näherungslösungen dieser Gleichungen sind (der relative Fehler bezogen auf ${\displaystyle l_{2}-r}$ beim System Sonne-Erde beträgt etwa 0,33 %, bei Erde-Mond bis zu 6 %):

${\displaystyle \textstyle l_{1}=r\left(1-{\sqrt[{3\,}]{\frac {\mu }{3}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle l_{2}=r\left(1+{\sqrt[{3\,}]{\frac {\mu }{3}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle l_{3}=-r\left(1+{\frac {5\mu }{12}}\right)}$

mit dem Abstand ${\displaystyle r}$ zwischen den beiden Körpern mit den Massen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle M}$ sowie ${\displaystyle \textstyle \mu ={\frac {m}{m+M}}}$.
${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ und ${\displaystyle l_{3}}$ sind die (vorzeichenbehafteten) Abstände der jeweiligen Lagrangepunkte vom schwereren Körper der Masse ${\displaystyle M}$. Genauere Formeln können durch Potenzreihenentwicklungen nach ${\displaystyle \nu ={\sqrt[{3\,}]{\tfrac {\mu }{3}}}}$ hergeleitet werden, z. B. die Näherung zweiter Ordnung

${\displaystyle \textstyle l_{2}=r\left(1+\nu +{\frac {\nu ^{2}}{3}}-{\frac {\nu ^{3}}{9}}+\ldots \right)}$

mit einem relativen Fehler kleiner als ${\displaystyle 0{,}8\ \nu ^{3}}$ (${\displaystyle \nu }$ ≤ 1/4). Dies liefert beim System Erde – Mond eine Ungenauigkeit von nur noch etwa 0,3 % und beim System Sonne – Erde von 0,00008 %. Letzteres entspricht immerhin noch einer Ungenauigkeit von etwa 1,2 km. Für konkrete Werte von ${\displaystyle \nu }$ gelangt man von diesen Näherungen mit dem Newton-Verfahren zu höherer Genauigkeit.

Lagrange-Punkte L₄ und L₅

Wenn man drei Körper mit gleicher Masse umeinander auf einer gemeinsamen Kreisbahn rotieren lässt, liegen der Massenmittelpunkt und das Gravizentrum der Anordnung im Mittelpunkt der Kreisbahn. Bei einer bestimmten, vom Abstand der Massen abhängigen Winkelgeschwindigkeit ist jeder der drei Körper kräftefrei und das System befindet sich im Gleichgewicht. Die direkte Gravitationswirkung der drei Körper aufeinander ist dann ausgeglichen, wenn auf der Kreisbahn die drei Körper den gleichen Abstand zueinander einnehmen. Das kann aber nur in einem gleichseitigen Dreieck der Fall sein. Dort ist der Winkel der einzelnen Seiten zueinander gleich und beträgt 60°.

Verändert man nun die Massen, dann wird der gemeinsame Schwerpunkt, um den das System rotiert, zu der schwersten Masse hin verschoben. Die Eigenschaft, dass das Dreieck gleichseitig ist und folglich die Winkel der Massen zueinander 60° sind, wird dadurch aber nicht beeinflusst.

Somit ist der Abstand zu den beiden Lagrange-Punkten L₄ und L₅ gleich der Entfernung zwischen den beiden schweren Himmelskörpern r, und die Entfernung zum Fußpunkt bzw. die x-Koordinate und der seitliche Abstand bzw. die y-Koordinate betragen

${\displaystyle \textstyle l_{x}=r\cdot \cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}r}$

${\displaystyle \textstyle l_{y}=r\cdot \sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}r}$

Herleitung der Librationspunkte durch Lagrange

Bei vergleichbar großen Massen bewegen sich drei Körper in einem Rotationssystem im Allgemeinen chaotisch umeinander. Anders sieht es aus, wenn entweder die Masse der drei Körper gleich groß oder einer der drei Körper sehr klein gegenüber den beiden anderen ist. Lagrange betrachtete den letzteren Fall. Der erstere ist hingegen gut verwendbar zum Einstieg in das Verständnis des Effekts, der zum Gleichgewicht im letzteren Fall führt:

Lagrange ging in seiner Herleitung davon aus, dass einer der Körper eine verschwindend geringe Masse haben soll, sodass der Masseschwerpunkt nur noch von den beiden schwereren Körpern bestimmt wird und zwischen diesen liegt; außerdem davon, dass die beiden schwereren deutlich unterschiedliche Masse haben, also im Wesentlichen der mittelschwere (Planet) um den schwersten (Sonne) kreist. Außerdem davon, dass auch dann, wenn einer der beiden massereichen Körper der deutlich schwerste (Sonne) ist, dieser Masseschwerpunkt deutlich aus dessen Mittelpunkt herausgeschoben ist. Das bedeutet unter anderem, dass der massereichste Körper (Sonne) aufgrund der Wechselwirkung mit dem zweitschwersten Körper (Planet) deutlich um den gemeinsamen Masseschwerpunkt herum wandert. Genau dann und proportional zu dieser Verschiebung des Masseschwerpunkts passiert es, dass die beiden massereichen Körper am Schwerpunkt vorbei aus entgegengesetzten Richtungen auf den kleinsten Körper im betrachteten System einwirken können – ähnlich dem eingangs betrachteten Rotationssystem mit den drei gleich großen Massen, nur dass der Winkel, unter dem der schwerste Körper (Sonne) auf den betrachteten Kleinkörper am Masseschwerpunkt vorbeiwirkt, extrem klein (aber trotzdem ungleich 0) ist.

Nun zeigt sich, dass im Fall relativ großer Massenverhältnisse erstens wieder eine stabile Bahn der drei Körper zustande kommt und zweitens das Gebilde unabhängig vom konkreten Massenverhältnis immer jenes gleichseitige Dreieck bleibt (nur dass es um einen Schwerpunkt nahe bei der Sonne anstatt genau in der Mitte der drei Körper kreist).

Das Modell ist nicht ohne Weiteres auf Mehrplanetensysteme wie unser Sonnensystem anwendbar. Die Auslenkung der Sonne um ihren Mittelpunkt wird bei uns im Wesentlichen von Jupiter bestimmt. Dieser Planet ist es dann auch, der als einziger etliche Masseteilchen um seine Lagrange-Punkte L₄ und L₅ herum angesammelt hat. Alle anderen Planeten lenken die Sonne im Verhältnis dazu nur zu Bruchteilen ab, sodass die Bewegung der Sonne aus deren Sicht von einer chaotischen Funktion hoher Amplitude in Bezug auf das Lagrange-Modell überlagert ist. Durch statistische Effekte (unterschiedliche Umlauffrequenzen) und lineare Überlagerung können die Lagrange-Punkte allerdings auch bei den kleineren Planeten wirken.