Die Lah-Zahlen sind in der Mathematik die Koeffizienten zur gegenseitigen Darstellung von steigenden und fallenden Faktoriellen.

Sie wurden erstmals 1955 von Ivo Lah beschrieben. Es gilt:

${\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}L_{n,k}x^{\underline {k}}}$

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

${\displaystyle L_{n,k}={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

${\displaystyle L_{n,k}=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

Für die Inversionsformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der Kombinatorik eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten ${\displaystyle k}$-Partitionen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge.

Außerdem gilt:

${\displaystyle L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )}$

wobei ${\displaystyle B_{n,k}}$ für die Bell-Polynome steht.

Werte

${\displaystyle _{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1

(Folge A008297 in OEIS)

Neuere praktische Anwendung

In den letzten Jahren wurden Lah-Zahlen in der Steganografie verwendet, um Daten in Bildern zu verstecken. Im Vergleich zu Alternativen wie DCT, DFT und DWT weist sie eine geringere Komplexität der Berechnung ihrer ganzzahligen Koeffizienten auf (${\displaystyle O(n\log n)}$). Die Lah- und Laguerre-Transformationen tauchen natürlich bei der störungstheoretischen Beschreibung der chromatische Dispersion auf. In der Lah-Laguerre-Optik beschleunigt ein solcher Ansatz Optimierungsprobleme ungemein.

Einzelnachweise

1. 1 2 Eric W. Weisstein: Lah Numbers auf MathWorld
2. ↑ Sudipta Kr Ghosal, Souradeep Mukhopadhyay, Sabbir Hossain, Ram Sarkar: Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication. In: Transactions on Emerging Telecommunications Technologies. 32. Jahrgang, Nr. 2, 2020, doi:10.1002/ett.3984 (englisch). 
3. ↑ Image Steganography-using-Lah-Transform. In: MathWorks. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
4. ↑ Dimitar Popmintchev, Siyang Wang, Zhang Xiaoshi, Ventzislav Stoev, Tenio Popmintchev: Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion. In: Optics Express. 30. Jahrgang, Nr. 22, 24. Oktober 2022, S. 40779–40808, doi:10.1364/OE.457139, PMID 36299007, bibcode:2022OExpr..3040779P (englisch).