Reeller und komplexer Dirichlet-Charakter

Ein Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ heißt reell (oder quadratisch) falls alle seine Werte ${\displaystyle \chi _{q}(a)}$ reell sind oder äquivalent falls er gleich seiner komplex Konjugierten ist

${\displaystyle \chi _{q}(a)={\overline {\chi _{q}(a)}}.}$

Ansonsten ist er komplex oder nicht-reell.

Nullstellen

Die Nullstellen ${\displaystyle s_{\chi _{q}}=\sigma _{\chi _{q}}+it_{\chi _{q}}}$ der Dirichletschen L-Funktion ${\displaystyle L(s,\chi _{q})}$ werden in triviale und nicht-triviale Nullstellen aufgeteilt. Die trivialen Nullstellen sind alle negativ und die nicht-trivialen befinden sich im kritischen Streifen

${\displaystyle \{s_{\chi }\in \mathbb {C} \colon 0<\sigma _{\chi _{q}}<1\}.}$

Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung nimmt an, dass für alle nicht-trivialen Nullstellen ${\displaystyle \sigma _{\chi _{q}}={\tfrac {1}{2}}}$ gilt.

Satz 1

Sei ${\displaystyle \chi _{q}}$ ein reeller, primitiver Dirichlet-Charakter und ${\displaystyle \beta }$ eine Siegel-Nullstelle und

${\displaystyle \beta >1-{\frac {1}{3\log q}}.}$

Falls unendlich viele solche ${\displaystyle \{(\chi _{q_{i}}^{(i)},\beta _{i})\}}$ existieren, dann existieren unendlich viele Primzahlzwillinge.

Satz 2

Mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr:

1. Es existieren keine Siegel-Nullstellen, d. h. es existiert eine gemeinsame Schranke ${\displaystyle c_{0}>0}$, so dass für alle ${\displaystyle q\geq 2}$ und alle ${\displaystyle \chi _{q}}$ gilt ${\displaystyle L(\sigma +it,\chi _{q})\neq 0}$ für

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c_{0}}{\log(q|t|+2))}}.}$

1. Die Primzahlzwillingsvermutung ist wahr.

Linniks Repulsions-Theorem

Falls eine Siegel-Nullstelle ${\displaystyle \beta }$ zu einem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ existiert, so dass

${\displaystyle 1-\beta ={\frac {\varepsilon }{\log(q)}}}$

für ein hinreichend kleines ${\displaystyle \varepsilon }$ gilt, dann sind alle anderen Nullstellen ${\displaystyle s=\sigma +it}$ der Familie ${\displaystyle \mathrm {X} (q)}$ in der Region

${\displaystyle 1-\sigma \geq c{\frac {\log({\tfrac {1}{\varepsilon }})}{\log(q(|t|+2))}}}$

für eine (effektiv-berechenbare) positive Konstante ${\displaystyle c}$.