Das Lemma von Frank ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf den Mathematiker Ove Frank zurückgeht. Es formuliert eine elementare stochastische Ungleichung für gewisse endliche Familien von integrierbaren reellen Zufallsvariablen und erweist sich damit als nützliches Hilfsmittel für den Beweis einiger Resultate im Umfeld des Gesetzes der großen Zahlen. Mit Hilfe des Lemmas von Frank lassen sich nicht zuletzt die kolmogoroffsche Ungleichung und die tschebyscheffsche Ungleichung herleiten.

Formulierung des Lemmas

Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich das Lemma angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ und darauf endlich viele ${\displaystyle \operatorname {P} }$-integrierbare Zufallsvariablen ${\displaystyle Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;(n\in \mathbb {N} )}$

mit ${\displaystyle Z_{0}=0}$ und ${\displaystyle Z_{n}\geq 0}$   .

Sei weiterhin eine reelle Zahl ${\displaystyle \epsilon >0}$ gegeben und hierbei für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle B_{i}=\bigcap _{k=0}^{i-1}{\{\omega \in \Omega \mid Z_{k}(\omega )<\epsilon \}}}$

gesetzt.

Dann gilt:

${\displaystyle \operatorname {P} {\bigl (}\max(Z_{1},\dots ,Z_{n})\geq \epsilon {\bigr )}\leq {\frac {1}{\epsilon }}\cdot \sum _{i=1}^{n}{\int _{B_{i}}(Z_{i}-Z_{i-1})\mathrm {d} {\operatorname {P} }}}$   .

Folgerung: Die Ungleichung von Hájek und Rényi

Mit dem Lemma von Frank lässt sich eine von Jaroslav Hájek und Alfréd Rényi vorgelegte Ungleichung herleiten, welche ihrerseits weitere Ungleichungen und insbesondere sowohl die die kolmogoroffsche als auch die tschebyscheffsche Ungleichung in sich einschließt.

Die Ungleichung lautet gemäß der Darstellung von Heinz Bauer wie folgt:

Seien auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ endlich viele unabhängige integrierbare reelle Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;(n\in \mathbb {N} )}$ gegeben

und dazu absteigend angeordnete positive Zahlen ${\displaystyle {\gamma }_{1}\geq \ldots \geq {\gamma }_{n}>0}$   .

Sei hierbei für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle S_{i}=\sum _{j=1}^{i}{{\bigl (}X_{j}-\operatorname {E} (X_{j}){\bigr )}}}$

gesetzt.

Dann ist für jeden Index ${\displaystyle m=1,\ldots ,n}$ und für jedes reelle ${\displaystyle \epsilon >0}$

die Ungleichung

${\displaystyle \operatorname {P} {\bigl (}\max({{\gamma }_{m}{|S_{m}|}},\dots ,{{\gamma }_{n}{|S_{n}|}})\geq \epsilon {\bigr )}\;\leq \;{\frac {{{\gamma }_{m}}^{2}\sum _{j=1}^{m}{\operatorname {Var} (X_{j})}\;+\;\sum _{j=m+1}^{n}{{{\gamma }_{j}}^{2}\operatorname {Var} (X_{j})}}{{\epsilon }^{2}}}}$   .

erfüllt.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 3., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 1978, ISBN 3-11-007698-5 (MR0936419). 
• Ove Frank: Generalization of an inequality of Hájek and Rényi. In: Skand. Aktuarietidskrift. Band 49, 1966, S. 85–89 (MR0231420). 
• J. Hájek, A. Rényi: Generalization of an inequality of Kolmogorov. In: Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. Band 6, 1955, S. 281–283 (MR0076207). 

Einzelnachweise und Fußnoten

1. 1 2 3 Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 1978, S. 171 ff.
2. ↑ Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ der Erwartungswert von ${\displaystyle X}$ .
3. ↑ Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ die Varianz von ${\displaystyle X}$ .
4. ↑ Eine Summe der Form ${\displaystyle \sum _{j=n+1}^{n}a_{j}}$ wird als Summe über die leere Menge und damit gleich Null betrachtet.