Simplex

Bildet man in ${\displaystyle V}$ zu gegebenen ${\displaystyle n+1}$ affin unabhängigen Punkten ${\displaystyle x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\leq m}$) die konvexe Hülle dieser Punkte, so erhält man das n-Simplex ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V}$. Die ${\displaystyle x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}}$ heißen die Eckpunkte oder Ecken des zugehörigen n-Simplexes und ${\displaystyle n}$ seine Dimension. Im Folgenden wird für die Menge ${\displaystyle \{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}}$ der Eckpunkte des n-Simplexes ${\displaystyle \Delta }$ auch ${\displaystyle E(\Delta )}$ geschrieben.

Seite eines Simplexes

Bildet man für eine Teilmenge ${\displaystyle \{x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}\}\subseteq \{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}}$ mit ${\displaystyle 0\leq i_{1}<\dots <i_{r}\leq n}$ in gleicher Weise die konvexe Hülle, so erhält man ein Untersimplex ${\displaystyle {\Delta }^{*}=\Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subseteq \Delta }$, welches man als (r-dimensionale) Seite von ${\displaystyle \Delta }$ bezeichnet.

Simplizialer Komplex und Eckenmenge

Ein (endlicher) simplizialer Komplex in dem euklidischen Raum ${\displaystyle V}$ ist eine Familie ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ von Simplexen von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Mit jedem Simplex ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}}$ gehört auch jede Seite von ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}}$ zu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.
2. Der Schnitt ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}_{1}\cap {{\Delta }^{*}}_{2}}$ zweier Simplexe von ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}_{1},\,{{\Delta }^{*}}_{2}\in {\mathcal {K}}}$ ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplexe ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}_{1},\,{{\Delta }^{*}}_{2}}$.
3. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist eine endliche Menge.

Die Familie der Seiten eines n-Simplexes ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V}$ bildet stets einen endlichen simplizialen Komplex.

Bildet man die Vereinigungsmenge ${\displaystyle E=E({\mathcal {K}})=\bigcup _{{{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}}E({\Delta }^{*})}$, so erhält man die Eckenmenge von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, nämlich die Menge aller Eckpunkte der in ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ vorkommenden Simplexe.

Polyeder und Triangulation

Die Vereinigungsmenge ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {K}}}$, gebildet über alle Simplexe eines simplizialen Komplexes ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, nennt man das zu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ gehörige Polyeder und ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ seine Triangulation. Man sagt dann, das Polyeder werde durch ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ trianguliert. Da hier vorausgesetzt ist, dass ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ eine endliche Familie ist, handelt es sich bei einem solchen Polyeder stets um eine kompakte Teilmenge des zugrundeliegenden euklidischen Raumes ${\displaystyle V}$.

Seitpunkt und mittlerer Punkt

Ein Punkt ${\displaystyle x\in \Delta }$ heißt ein Seitpunkt von ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})}$, wenn ${\displaystyle x}$ in einer echten Seite ${\displaystyle \Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subset \Delta }$ (mit ${\displaystyle \{x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}\}\subset \{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}}$) enthalten ist. Andernfalls wird er als mittlerer Punkt von ${\displaystyle \Delta }$ bezeichnet.

${\displaystyle x\in \Delta }$ ist also ein mittlerer Punkt von ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})}$ dann und nur dann, wenn seine bzgl. der Eckpunkte ${\displaystyle x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}}$ gebildeten baryzentrischen Koordinaten alle größer ${\displaystyle 0}$ sind. Dementsprechend ist ${\displaystyle x\in \Delta }$ ist genau dann ein Seitpunkt von ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})}$, wenn eine seiner bzgl. ${\displaystyle x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}}$ gebildeten baryzentrischen Koordinaten gleich ${\displaystyle 0}$ ist.

Trägersimplex

Für einen Punkt ${\displaystyle x\in \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})}$ existiert stets exakt eine Seite ${\displaystyle {\Delta }_{x}\subseteq \Delta }$ , von welcher ${\displaystyle x}$ ein mittlerer Punkt ist. Es ist ${\displaystyle {\Delta }_{x}}$ die Seite kleinster Dimension unter all den Seiten ${\displaystyle \Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subseteq \Delta }$ , in denen ${\displaystyle x}$ enthalten ist. Dieses ${\displaystyle {\Delta }_{x}}$ nennt man kurz das Trägersimplex von ${\displaystyle x\,}$ (in ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})}$).

Die zu den Ecken dieser Seite ${\displaystyle {\Delta }_{x}}$ gehörige Indexmenge ${\displaystyle \{i_{0},\,\ldots ,\,i_{r}\}}$ wird im Folgenden mit ${\displaystyle I_{x}}$ bezeichnet.

Spernersche Eckpunktbezifferung und komplette Simplexe

Ist ein n-Simplex ${\displaystyle \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V}$ fest vorgegeben und dazu ein (endlicher) simplizialer Komplex ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ , welcher dieses Simplex trianguliert, und ist weiter ${\displaystyle f\colon \,E\to \{0,\,\ldots ,n\}}$ eine Abbildung, welche die Bedingung ${\displaystyle f(e)\in I_{e}}$ für jede ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-Ecke ${\displaystyle e\in E=E({\mathcal {K}})}$ erfüllt (Sperner-Bedingung), so bezeichnet man ein solches ${\displaystyle f\colon \,E\to \{0,\,\ldots ,n\}}$ als Eckpunktbezifferung oder Spernersche Eckpunktbezifferung (engl. Sperner labelling).

Für jedes Simplex ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}}$ setzt man dann ${\displaystyle f[{{\Delta }^{*}}]=\{f(e):e\in E({{\Delta }^{*}})\}}$.

Es ist offenbar stets ${\displaystyle f[{{\Delta }^{*}}]\subseteq \{0,\,\ldots ,n\}}$. Gilt sogar ${\displaystyle f[{{\Delta }^{*}}]=\{0,\,\ldots ,n\}}$, so bezeichnet man ein solches Simplex ${\displaystyle {{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}}$ als komplett.

Formulierung des Spernerschen Lemmas

Das Spernersche Lemma kann man formulieren wie folgt:

Für jede Spernersche Eckpunktbezifferung ist die Anzahl der kompletten Simplexe ungerade. Insbesondere hat jede Spernersche Eckpunktbezifferung stets mindestens ein komplettes Simplex.

Korollar

Der Lebesgue’sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und für jedes beliebige n-Simplex ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ gibt es stets ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ mit folgender Eigenschaft:

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, die ${\displaystyle \Delta }$ überdecken, und hat jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ einen Durchmesser ${\displaystyle \operatorname {diam} (A)<\epsilon }$, so gibt es in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ stets ${\displaystyle n+1}$ Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.