Rosettenbahnen

Das primäre Gravitationspotential U(r,φ,z,t) einer Spiralgalaxie wird als stationär, axialsymmetrisch und spiegelsymmetrisch zur galaktischen Ebene (U(r,φ,z,t)=U(r,z)=U(r,-z)) angenommen, wobei man dabei zunächst die verdichteten Spiralarme, Balken oder sonstige Störungen unbeachtet lässt. Im Folgenden beschränken wir uns auf die galaktischen Ebene, d. h. es gelte stets z=0 und nennen das Potential dort einfach U(r). Bahnen in der Nähe der galaktischen Ebene führen Schwingungen in z-Richtung um z=0 aus, die hier nicht weiter betrachtet werden sollen. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen in der galaktischen Ebene

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}=-\nabla U(r)}$

werden dann sinnvollerweise in ebenen Polarkoordinaten (r,φ) formuliert:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\phi }}^{2}={\frac {\partial U(r)}{\partial r}};\quad r{\ddot {\phi }}+2{\dot {r}}{\dot {\phi }}=0}$

In einem solchen Potential existieren für jeden Abstand R zum Zentrum der Galaxie in der galaktischen Ebene stabile Kreisbahnen. Die Sterne auf den Kreisbahnen laufen mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um, die sich aus der Zentralkraft für solche Bahnen ergibt:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial U}{\partial r}}\right|_{r=R}=\Omega ^{2}R.}$

Die meisten Sterne einer Spiralgalaxie haben Bahnen, die sich in einem recht kleinen radialen Abstandsbereich um eine Kreisbahn aufhalten. Es ist dann gerechtfertigt, die allgemeinen Bewegungsgleichungen in der Ebene linear um diese Kreisbahn zu nähern. Dazu definiert man die Abweichungen von der Kreisbahn wie folgt:

${\displaystyle r=R+\Delta r\quad \phi =\Omega t+\Delta \phi .}$

Die Linearisierung der Kraft enthält die zweite Ableitung des Potentials:

${\displaystyle {\frac {\partial U(r)}{\partial r}}=\left.{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\right|_{r=R}+\left.{\frac {\partial ^{2}U(r)}{\partial r^{2}}}\right|_{r=R}\cdot \Delta r.}$

Die zweite Ableitung von U lässt sich durch die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit Ω nach dem Kreisbahnradius ausdrücken:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}U(r)}{\partial r^{2}}}\right|_{r=R}=2R\Omega {\frac {d\Omega }{dR}}+\Omega ^{2}.}$

Die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach dem Kreisbahnradius nennen wir im Folgenden Ω'. Die Größen Ω und Ω' sind Beobachtungsgrößen, die aus der Rotationskurve einer Galaxie bestimmt werden können. Insbesondere lassen sie sich aus den oortschen Konstanten bestimmen.

Die linearisierten Bewegungsgleichungen lauten nun:

${\displaystyle \Delta {\ddot {r}}-2R\Omega \Delta {\dot {\phi }}-\Omega ^{2}\Delta r=(2R\Omega \Omega '+\Omega ^{2})\Delta r;\quad R\Delta {\ddot {\phi }}+2\Omega \Delta {\dot {r}}=0}$

Die zweite Gleichung lässt sich, wie auch die entsprechende nicht-linearisierte Gleichung, direkt integrieren. Die Konstante der Bewegung

${\displaystyle \Delta l=R\Delta {\dot {\phi }}+2\Omega \Delta r}$

steht in Zusammenhang mit der Drehimpulsdifferenz zwischen Kreisbahn und gestörter Bahn. Sie kann ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit gleich Null gesetzt werden, da es zu jedem Drehimpuls eine passende ungestörte Kreisbahn gibt. Setzt man die daraus folgende Gleichung in die radiale Bewegungsgleichung ein, erhält man:

${\displaystyle \Delta {\ddot {r}}=(2R\Omega \Omega '+4\Omega ^{2})\Delta r.}$

Dies ist eine homogene Schwingungsgleichung mit Kreisfrequenz

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {2R\Omega \Omega '+4\Omega ^{2}}}}$

mit Lösung

${\displaystyle \Delta r(t)=a\sin(\kappa t).}$

Die Gleichung für den Winkelversatz:

${\displaystyle \quad \Delta {\dot {\phi }}=-{\frac {2\Omega }{R}}\Delta r}$

liefert dann eine um 90° phasenverschobene Schwingung

${\displaystyle \Delta \phi (t)=-{\frac {b}{R}}\cos(\kappa t)}$

mit Amplitude b/R=2aΩ/(κR). Die gestörte Bahn führt relativ zur ungestörten Kreisbahn mit demselben Drehimpuls eine elliptische Bahn mit Halbachsen a und b aus, deren Verhältnis gerade b/a=2Ω/κ ist. Die Ellipse wird Epizykel genannt (auch wenn es sich nicht um einen Kreis handelt). Die Kreisfrequenz κ wird folglich Epizykelfrequenz genannt. Die Bahn, die sich aus der Überlagerung von Kreisbewegung und Epizykelbewegung ergibt, wird Rosettenbahn genannt. Im nebenstehenden Bild sind einige Beispiele zu sehen.

Für Potentiale, die entweder proportional zum Logarithmus oder einer reinen Potenzfunktion von r sind, ist Ω(R) proportional zu einer reinen Potenzfunktion von r. Aus der obigen Formel sieht man, dass die Epizykelfrequenz dann proportional zur Winkelgeschwindigkeit der Kreisbahn ist und das Verhältnis beider damit eine Konstante ergibt (dies ist auch in nebenstehender Animation der Fall). Für das Potential einer kugelsymmetrischen Zentralmasse U(r)~1/r ergibt sich beispielsweise ${\displaystyle \kappa /\Omega =1}$, so dass sich geschlossene Bahnen mit einem Perizentrum und einem Apozentrum pro Umlauf ergeben, wie dies auch die Kepler'schen Gesetze vorgeben. Für ein logarithmisches Potential, das eine realistische Näherung eines typischen Galaxienpotentials darstellt, ergibt sich als Verhältnis ${\displaystyle \kappa /\Omega ={\sqrt {2}}}$. Messungen der oortschen Konstanten in der Sonnenumgebung liefern für unsere galaktische Nachbarschaft den Wert ${\displaystyle \kappa /\Omega =1{,}3}$. Für eine starr rotierende Scheibe (ein Modell das für den Galaxienkern recht gut zutrifft) ist ${\displaystyle \kappa /\Omega =2}$, so dass die Sterne sich dort auf nahezu elliptischen Bahnen mit dem Galaxienzentrum im Mittelpunkt (nicht im Brennpunkt wie beim Keplerproblem) bewegen.

Relativbewegung zur Störung

Balken, Spiralarme oder nahe Begleiter einer Galaxie können als Störung des axialsymmetrischen primären Potentials U aufgefasst werden, die mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω_S rotiert. Wechselt man in ein Bezugssystem, das mit der Störung mitrotiert, so transformieren sich die Bahnkurven der Sterne in einer Art, dass die Winkelgeschwindigkeiten der Kreisbahnen auf Ω'=Ω-Ω_S reduziert werden, während die Epizykelbewegung von der Transformation unberührt bleibt. Die Sterne bewegen sich also weiterhin auf Rosettenbahnen, aber mit einem anderen Frequenzverhältnis κ/Ω'. Im Spezialfall einer korotierenden Bahn ist Ω'=0 und nur die Epizykelbewegung sichtbar, d. h. der Stern bewegt sich auf einer relativ zur Störung ortsfesten Ellipse. Da Ω' meist vom Betrag kleiner als Ω ist, führen die meisten Rosettenbahnen der Sterne im mitbewegten Bezugssystem sehr viel mehr Epizykeldurchläufe pro Umlauf aus als im nicht mitbewegten System. Außerdem ist das Vorzeichen der relativen Winkelgeschwindigkeit für Sterne innerhalb des korotierenden Orbits positiv, außerhalb negativ.

Ist das Frequenzverhältnis κ/Ω' ganzzahlig, so sind die Rosettenbahnen im geschlossen mit κ/Ω' Epizykelumläufen pro Umlauf um das Zentrum der Galaxie. Die Störung beeinflusst die Bahn eines Sterns dabei besonders stark, wenn der Betrag des Verhältnisses κ/Ω' gerade gleich der Zähligkeit m der Symmetrie der Störung ist:

${\displaystyle \kappa =\pm m\Omega '}$

Die Bahnpunkte mit maximalem Abstand zum Zentrum werden von der Störung im Laufe der Zeit in die Störung gedreht und die Halbachsen der Epizykel vergrößern sich. Eine genaue Beschreibung dieses Resonanzphänomens ist im Rahmen der Störungstheorie möglich, die den Rahmen dieses Artikels überschreitet. Im folgenden Absatz wird ein selbstkonsistenter Ansatz vorgestellt, wie sich die Lindblad-Resonanz auf die Stabilisierung und Ausbreitung der Spiralstruktur der Galaxie auswirkt.

Auswirkung der Resonanz

Man kann die Wirkung der Resonanzen mathematisch modellieren, wenn man einen kontinuumsmechanischen Ansatz zur Beschreibung der Galaxie inklusive Störung wählt. Wenn man davon ausgeht, dass die Flächendichteverteilung Σ in einem System nicht stationär ist, kann man deren Zeitentwicklung betrachten. Dazu betrachte man zunächst die Eulergleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \Sigma \mathbf {u} }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\Sigma \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)=-\nabla c_{s}-\Sigma \nabla U,}$

die die Funktionen ${\displaystyle \Sigma }$ (Flächendichte), ${\displaystyle \mathbf {u} }$ (Strömungsfeld) und ${\displaystyle U}$ (Potential), sowie die „Schallgeschwindigkeit“ ${\displaystyle c_{S}}$ enthält. Letztere wird mittels einer heuristischen Zustandsgleichung, die der Flächendichte Σ einen „Druck“ p zuordnet durch ${\displaystyle c_{S}=dp/d\Sigma }$ ermittelt. Alle Größen werden dann als Summe einer ungestörten zeitunabhängigen Größe und einer Störung betrachtet. Dies bedeutet, dass für alle Funktionen ein orts- und zeitabhängiger Störungsansatz gemacht wird. So wird z. B. die Flächendichte ${\displaystyle \Sigma }$ gemäß

${\displaystyle \Sigma (r,\phi ,t)=\Sigma _{0}(r)+{\tilde {\Sigma }}(r,\phi ,t)}$

gestört.

Eliminiert man dann in den aus dem Störungsansatz folgenden Gleichungen die ungestörten Anteile, so erhält man eine Poisson- und drei Störungs-Gleichungen. Dieses Gleichungssystem wird durch einen Ansatz z. B. für die Dichte der Form

${\displaystyle {\tilde {\Sigma }}(r,\phi ,t)={\tilde {\Sigma }}^{*}(r)\cos \left(m\Omega _{S}t-m\phi +f(r)\right)}$

gelöst. Dieser Ansatz entspricht spiralförmigen Dichtewellen mit ${\displaystyle m}$ Armen und Gestaltfunktion f(r), die mit der Frequenz ${\displaystyle \Omega _{S}}$ starr rotieren. In Ruhe folgt daraus für die Dichtemaxima das Muster

${\displaystyle m\Omega _{S}t_{0}-m\phi +f(r)=0\!\,}$ ,

was für ${\displaystyle m\neq 0}$ eine Spirale ist:

${\displaystyle \phi =\phi (r)={\frac {1}{m}}f(r).}$

Findet man nun auch für die anderen Störungsgleichungen selbstkonsistente Lösungen, so erhält man ein algebraisches Gleichungssystem, das im Weiteren dann auf eine Dispersionsrelation führt, die die Bedingung für eine spiralförmige Dichtewelle ausdrückt. Daraus wiederum folgt dann die Dispersionsgleichung

${\displaystyle 1-{\frac {m^{2}\omega ^{2}}{\kappa ^{2}}}+{\frac {k^{2}c_{s}^{2}}{\kappa ^{2}}}={\frac {2\pi G\Sigma _{0}|k|}{\kappa ^{2}}}}$,

in der ${\displaystyle \omega =\Omega (r)-\Omega _{S}}$ für die Differenz aus der Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbahn mit Radius r mit der Winkelgeschwindigkeit der Störung steht, ${\displaystyle k={\frac {df}{dr}}}$ die radiale Kreiswellenzahl der Spiralstruktur ist und ${\displaystyle \kappa }$ die Epizykelfrequenz, die sich wie weiter oben ergibt:

${\displaystyle \kappa ^{2}=2R\Omega {\frac {d\Omega }{dr}}+4\Omega ^{2}.}$

Formt man die Dispersionsgleichung um zu

${\displaystyle m^{2}\omega ^{2}=\kappa ^{2}+k^{2}c_{s}^{2}-2\pi G\Sigma _{0}|k|}$,

so erkennt man, dass die Lösung für die Kreiswellenzahl i. Allg. zwei Äste hat:

${\displaystyle c_{s}^{2}|k|=G\pi \Sigma \pm {\sqrt {G^{2}\pi ^{2}\Sigma ^{2}+c_{s}^{2}m^{2}\omega ^{2}-c_{s}^{2}\kappa ^{2}}},}$

die Kurzwellen(+) und Langwellen(-) genannt werden. Die Lindblad-Resonanzen erkennt man nun an den Stellen, an denen die Langwellen verschwinden, da ihre Kreiswellenzahl Null wird:

${\displaystyle m\omega =\pm \kappa .}$

Außerhalb der OLR und innerhalb der ILR können nur die Kurzwellen existieren. Die Region um die korotierenden Orbits zeigt in diesem Modell ein herausgehobenes Verhalten, da dort der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird, da ω sehr klein ist, d. h.

${\displaystyle G^{2}\pi ^{2}\Sigma ^{2}+c_{s}^{2}m^{2}\omega ^{2}<c_{s}^{2}\kappa ^{2}.}$

Die Wellen haben dort eine komplexe Wellenzahl und verschwinden daher exponentiell beim Eindringen in diese Region (evaneszente Wellen). In dieser Region bilden sich bei einigen Galaxien so genannte Sternenringe aus.