Tangenten an Kreis

Gegeben sei ein Punkt ${\displaystyle A}$ und ein Kreis (Mittelpunkt nicht bekannt). Gesucht sind die beiden Tangenten von ${\displaystyle A}$ an den Kreis (siehe Bild 1). In der Linealgeometrie erhält man die Lösung folgendermaßen: Man zieht von ${\displaystyle A}$ aus zwei Sekanten durch den Kreis und erhält die Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ bis ${\displaystyle P_{4}.}$ Es folgen die Verbindungen der Punkte ${\displaystyle P_{1}}$ mit ${\displaystyle P_{4}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ mit ${\displaystyle P_{3}}$ sowie die Halbgeraden ab ${\displaystyle P_{3}}$ durch ${\displaystyle P_{1}}$ und ab ${\displaystyle P_{4}}$ durch ${\displaystyle P_{2};}$ dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle P.}$ Zieht man jetzt eine Linie von ${\displaystyle P}$ durch ${\displaystyle X}$ bis zum Kreis, erhält man die beiden Tangentenpunkte ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}.}$

Parallele zu einer Geraden

Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Parallele zu einer gegebenen Geraden zu zeichnen. Ist jedoch auf der Geraden eine Strecke und deren Halbierungspunkt – wie im Bild 2 dargestellt – gegeben, kann man eine Parallele zur Geraden konstruieren.

Es sei ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ eine Strecke auf einer Geraden, ${\displaystyle D}$ der Halbierungspunkt von ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ sowie ${\displaystyle H}$ ein Punkt, durch den die gesuchte Parallele zu ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ verlaufen soll.

Man beginnt mit einer Halbgeraden ab ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle H}$ und einem darauf beliebig festgelegten Punkt ${\displaystyle A.}$ Es folgen die Verbindungen der Punkte ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle A}$ sowie ${\displaystyle D}$ mit ${\displaystyle A}$; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle C.}$ Nun zieht man eine gerade Linie ab ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle C}$ bis sie die Strecke ${\displaystyle {\overline {FA}}}$ in ${\displaystyle J}$ schneidet. Die abschließende Gerade durch ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle J}$ ist die gesuchte Parallele.

Halbierungspunkt einer Strecke

Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Strecke zu halbieren. Ist jedoch zu einer Strecke eine Parallele – wie im Bild 3 dargestellt – vorgegeben, kann man den Halbierungspunkt der Strecke konstruieren.

Gegeben sei eine Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ und eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {FG}}.}$ Gesucht ist der Halbierungspunkt der Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}}$.

Man beginnt damit, einen beliebig festgelegten Punkt ${\displaystyle A}$ mit den Punkten ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle F}$ zu verbinden; dabei entstehen die Schnittpunkte ${\displaystyle H}$ bzw. ${\displaystyle J.}$ Es folgen die Verbindungen der Punkte ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle H}$ sowie ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle J}$; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle C.}$ Abschließend zieht man eine gerade Linie ab ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle C}$ bis zur Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}},}$ und erhält damit den gesuchten Halbierungspunkt ${\displaystyle D}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}.}$