Die Maxwellschen Gleichungen

Mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen lassen sich sämtliche makroskopische Eigenschaften elektromagnetischer Felder beschreiben. Sie beinhalten das elektrische Feld ${\displaystyle E}$, das magnetische Feld ${\displaystyle H}$ und die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B}$ im Vakuum, die elektrische Ladungsdichte ρ, die Verschiebungsdichte D und die Stromdichte j. In differentieller Form lauten sie:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {H}}={\frac {\partial D}{\partial t}}{\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {j}}\,,{\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial B}{\partial t}}\,,{\mbox{div}}\,{\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\rho }}\,,{\mbox{div}}\,{\boldsymbol {B}}=0}$

Ausgehend von diesen Gleichungen, lässt sich die Beschreibung für das Feld eines magnetischen Dipols herleiten:

${\displaystyle {\boldsymbol {H}}(r,\mu )={\frac {1}{4\pi }}\left(-{\frac {\mu }{\ r^{3}}}+{\frac {3\cdot (r,\mu ),r}{r^{5}}}\right)\,}$, mit μ = magnetisches Moment

Es ergeben sich für die eindeutige Bestimmung der Markerposition sechs Freiheitsgrade, fünf für die Lage des Dipols im Raum (X, Y und Z als kartesische Koordinaten sowie φ und θ für die Beschreibung der Orientierung des Markers) und das magnetische Moment μ als sechster Freiheitsgrad. Sind diese Variablen bekannt, kann die magnetische Feldstärke an jedem beliebigen Raumpunkt bestimmt werden. Da es sich bei der Markerlokalisation um ein inverses Problem handelt, lässt sich umgekehrt die Position des Markers nicht aus sechs unabhängigen Messungen explizit angeben. Aus diesem Grund wird das Problem der Ermittlung der Position sinnvollerweise mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate gelöst.

Die Qualitätsfunktion

Für eine Anzahl von n Sensoren, die mindestens gleich der Anzahl der zu ermittelnden Freiheitsgrade ist, wird das magnetische Feld H um einen simulierten Marker und den Sensorpositionen berechnet und mit den gemessenen Sensorsignalen verglichen. Dazu werden sämtliche quadrierte Abweichungen von simulierten und tatsächlich magnetischen Feldstärken zu einer Fehler- oder Qualitätsfunktion aufsummiert:

${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\sum _{n}^{i=1}\,\{{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{i}^{M}-{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{i}^{S}\}^{2}}$, mit M = Messung, S = Simulation

Die Position des zu lokalisierenden Markers wird mit einer geeigneten Strategie (Gradientenverfahren oder unscharfe Methoden) solange verändert, bis die Differenz zwischen Sensorsignal und simuliertem Feld minimal wird. Die so ermittelte Position entspricht der wahren Position des Markers. Zur Erhöhung der Genauigkeit und der Minimierung des Einflusses der statischen Fehler der Sensorsignale wird mit einer großen Sensoranzahl gearbeitet. Um den Einfluss äußerer Störungen zu minimieren, können verschiedene Abwandlungen der Qualitätsfunktion gebildet werden. Z. B. können die Sensoren bezüglich ihrer Empfindlichkeit bewertet werden. Die Qualitätsfunktion wird dann in folgender Form abgewandelt:

${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\sum _{n}^{i=1}{\frac {\{{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{i}^{M}-{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{i}^{S}\}^{2}}{\Delta {\boldsymbol {H}}_{i}^{2}}}}$, mit M = Messung, S = Simulation

wobei ΔH²_i der Streuung der einzelnen Sensorsignale entspricht. Eine weitere Erhöhung der Genauigkeit wird durch die Einführung des Gradiometerprinzips erreicht. Dazu werden verschiedene Sensorsignale miteinander verknüpft, um äußere Störfelder zu eliminieren. Die Qualitätsfunktion für ein Gradiometer 1. Ordnung stellt sich dann wie folgt dar:

${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\sum _{n}^{i=1}\,\{({\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{G}^{M}-{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{G}^{M})-({\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{G}^{M}-{\boldsymbol {H}}(r,\mu )_{G}^{M})\}^{2}}$, mit M = Messung, S = Simulation, G = Gradio