Herleitung der erhöhten Treibfähigkeit

Im Folgenden werden analog zur Herleitung der Eytelwein’schen Gleichung die Verhältnisse an der Magnettreibscheibe dargestellt. Mit der Annahme, dass die Seilkraft ${\displaystyle F_{1}}$ größer als die Kraft ${\displaystyle F_{2}}$ ist, ergibt sich die modellhafte Darstellung nach Abbildung 2 a). Die Treibscheibe ist in ihrem Mittelpunkt gelagert und das Seil läuft auf dem Umfang. Dabei wird die Magnetkraft als Streckenlast ${\displaystyle q_{\text{m}}}$ angenommen. Für das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung ergeben sich mit dem infinitesimalen Freischnitt aus Abbildung 2 b), den Winkeln der Seilauflagepunkte ${\displaystyle \alpha _{1}}$ sowie ${\displaystyle \alpha _{2}}$, der tangentialen ${\displaystyle F_{\text{t}}}$ und normalen Kraft ${\displaystyle F_{\text{n}}}$ sowie den jeweiligen differenziellen Größen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum ^{\rightarrow }F_{x}=0:\quad &\left(F+dF\right)\cos {\frac {d\alpha }{2}}-F\cos {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{t}}=0\\&dF\cos {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{t}}=0\\\sum ^{\rightarrow }F_{y}=0:\quad &\left(F+dF\right)\sin {\frac {d\alpha }{2}}+F\sin {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{n}}+q_{\text{m}}Rd\alpha =0\\&\left(2F+dF\right)\sin {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{n}}+q_{\text{m}}Rd\alpha =0.\end{aligned}}}$

Beide Gleichgewichtsbedingungen sind über das Amontons’sche Gesetze, das als Coulomb’sches Gesetz bekannt ist,

${\displaystyle dF_{\text{t}}=\mu dF_{\text{n}}}$

mit dem Reibungskoeffizient ${\displaystyle \mu }$ verbunden und ergeben eingesetzt:

${\displaystyle dF\cos {\frac {d\alpha }{2}}-\mu (2F+dF)\sin {\frac {d\alpha }{2}}+\mu q_{\text{m}}Rd\alpha =0.}$

Unter der Annahme kleiner Winkel und Vernachlässigung von Differenzialen höherer Ordnung lässt sich diese zusammenfassen:

${\displaystyle {\begin{aligned}dF-\mu Fd\alpha -\mu q_{\text{m}}r_{\text{TS}}d\alpha &=0.\end{aligned}}}$

Durch Trennung der Veränderlichen und anschließendes Integrieren entsteht:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{F_{\text{2}}}^{F_{\text{1}}}{\frac {dF}{F+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}}&=\mu \int \limits _{\alpha _{\text{1}}}^{\alpha _{\text{2}}}d\alpha \\ln\left|{\frac {F_{1}+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}{F_{\text{2}}+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}}\right|&=\mu (\alpha _{\text{2}}-\alpha _{\text{1}})=\mu \alpha \\F_{\text{1}}&=F_{\text{2}}\cdot e^{\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1).\end{aligned}}}$

Die Bedingung, dass kein Rutschen auftritt, lautet für die MTS:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{2}}\cdot e^{-\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{-\mu \alpha }-1)&\leq F_{\text{1}}\leq F_{\text{2}}\cdot e^{\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1).\end{aligned}}}$

Zu erkennen ist, dass der Kraftverstärkungs- bzw. Verringerungsterm um den Faktor ${\displaystyle q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1)}$ größer bzw. ${\displaystyle q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{-\mu \alpha }-1)}$ kleiner ist als bei der kTS und damit ein größeres Verhältnis der beiden Kräfte ohne Rutschen befördert werden kann. Für die Treibfähigkeit (mit ${\displaystyle F_{\text{1}}\geq F_{\text{2}}}$) ergibt sich, dass diese wie oben beschrieben von der Kraft ${\displaystyle F_{\text{2}}}$ selbst abhängt:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F_{\text{1}}}{F_{\text{2}}}}&=e^{\mu \alpha }+{\frac {q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1)}{F_{\text{2}}}}.\end{aligned}}}$

Insgesamt ist die Treibfähigkeit der Magnettreibscheibe für ansonsten gleiche Parameter und ein ${\displaystyle q_{\text{m}}>0}$ größer als die der konventionellen Treibscheibe.

Ergebnis

Das Ergebnis lässt sich mit Abbildung 4 darstellen. Es ist das Seilkraftverhältnis ${\displaystyle F_{1}/F_{2}}$ (Treibfähigkeit) über der Kraft ${\displaystyle F_{2}}$ pro Seil dargestellt. Die Sicherheit gegen die Mindestbruchkraft (Sicherheitsgrenze der Tragseile) ist von den real auftretenden Lasten, repräsentiert durch den jeweiligen Arbeitsbereich ${\displaystyle F_{1}(Q;s_{\text{K}};{\ddot {s}}_{\text{K}})/F_{2}(s_{\text{K}};{\ddot {s}}_{\text{K}})}$, einzuhalten. In der Abbildung bedeutet dies, dass die Arbeitsbereiche sich innerhalb der blauen Begrenzung befinden müssen. Darüber hinaus müssen diese für eine korrekte Dimensionierung innerhalb des jeweiligen Treibfähigkeitsbereiches liegen. In der Abbildung wird auch deutlich, das der Treibfähigkeitsbereich der Magnettreibscheibe von der Kraft ${\displaystyle F_{2}}$ abhängt, im Gegensatz zur kTS wo dieser konstant ist. Im Treibfähigkeitsbereich ${\displaystyle F_{1}/F_{2}\leq 1}$ ist ${\displaystyle F_{2}}$ die kleinere der beiden Seilkräfte und die oben dargestellte untere Treibfähigkeitsgrenze kommt zum Tragen.

Es ergeben sich, wie in der nachfolgend dargestellten Tabelle gezeigt, Masseeinsparungen von ${\displaystyle 2290\,{\text{kg}}}$ in Kabine und Gegengewicht. Darüber hinaus kann die Anzahl der Tragseile von 4 auf 3 reduziert werden.

Größe	klassische Treibscheibe	Magnettreibscheibe	Differenz
Kabinenmasse	${\displaystyle 2820\,{\text{kg}}}$	${\displaystyle 530\,{\text{kg}}}$	${\displaystyle -2290\,{\text{kg}}}$
Gegengewichtsmasse	${\displaystyle 3830\,{\text{kg}}}$	${\displaystyle 1540\,{\text{kg}}}$	${\displaystyle -2290\,{\text{kg}}}$
Seilanzahl	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$

Zusammengefasst ermöglicht der Einsatz der Magnettreibscheibe einen deutlich geringeren Materialeinsatz in Kabine und Gegengewicht. Einen Ansatz dies zu realisieren lieferten Gude und Hufenbach bzw. Thumm. Zusätzlich kann im Beispiel ein Drahtseil eingespart werden, womit sich der Arbeitsaufwand bei einem Seilwechsel reduziert. Auch kann durch die seilschonendere Rillengestaltung der Magnettreibscheibe das Wechselintervall der Seile vergrößert werden. Es sind darausfolgend Vorteile bei der Herstellung sowie im Betrieb einer Aufzuganlage mit Magnettreibscheibe festzustellen.