Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl ${\displaystyle x,y}$ oder ${\displaystyle z}$, die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz\,}$

vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, …

Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten ${\displaystyle (1,1,1),(1,1,2),(1,2,5),(1,5,13),(2,5,29)}$ lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet.

Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der Quadratischen Formen und der diophantischen Approximationen vor: Ist ${\displaystyle m}$ eine Markoff-Zahl, so ist ${\displaystyle m/{\sqrt {9m^{2}-4}}}$ sowohl ein Element des sogenannten Markoff-Spektrums (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen).

Eigenschaften

Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ der Größe nach geordnet mit ${\displaystyle x\leq y\leq z}$ angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel ${\displaystyle (1,1,1)}$ und ${\displaystyle (1,1,2)}$ bestehen die Lösungstripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element ${\displaystyle z}$ eines Tripels schon das Markoff-Tripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ bestimmt.

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle f_{i}}$ mit ungeradem ${\displaystyle i}$. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten Pell-Zahlen ${\displaystyle p_{i}}$ mit ungeradem ${\displaystyle i}$.

Ist eine Markoff-Zahl ${\displaystyle m}$ ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz ${\displaystyle m\equiv 1\ mod\ 4}$ und wenn sie gerade ist, dann gilt ${\displaystyle m\equiv 2\ mod\ 32}$. Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise teilerfremd.

Die Erzeugung neuer Markoff-Tripel aus bekannten

Man kann aus einer Lösung ${\displaystyle (x,y,z)}$ der Markoff-Gleichung mittels ${\displaystyle (x,y,z)\to (x,y,3xy-z)}$ weitere Lösungen erzeugen. Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle z}$ können unterschiedliche Tripel ${\displaystyle (x,y,3xy-z)}$ erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel ${\displaystyle (1,5,13)}$, dann bekommt man die drei benachbarten Tripel ${\displaystyle (5,13,194),(1,13,34)}$ und ${\displaystyle (1,2,5)}$ im Markoff-Baum, wenn man ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle 1,5}$ oder ${\displaystyle 13}$ setzt. Wendet man ${\displaystyle (x,y,z)\to (x,y,3xy-z)}$ zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

Beginnt man mit ${\displaystyle (1,1,2)}$ und vertauscht fortwährend ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$ erzeugt man die Pell-Lösungen.

Wie groß ist die n-te Markoff-Zahl?

Im Jahr 1982 bewies Don Zagier eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die ${\displaystyle n}$-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}}$ mit ${\displaystyle C=2,3523418721\ldots }$

(hier wird die O-Notation von E. Landau verwendet). Der Fehler ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$ ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. ${\displaystyle 6\cdot 10^{31}}$.

Literatur

• Thomas Cusick, Mari Flahive: The Markoff and Lagrange spectra. In: Math. Surveys and Monographs, 30, 1989, AMS, Providence
• Serge Perrine: La théorie de Markoff et ses développements. Tessier & Ashpool, 2002, arxiv:math-ph/0307032
• Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers. In: The Mathematical Intelligencer, 7 (3), 1985, S. 20–29.
• Eric W. Weisstein: Markov number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Siehe auch den Abschnitt „Die Markoff-Zahlen“ in Paulo Ribenboims Buch Meine Zahlen, meine Freunde: Google Books
2. ↑ Die Markoff-Zahlen sind die Folge A002559 in Neil Sloanes Online Encyclopedia of Integer Sequences.
3. ↑ Der Lösungsansatz von Norbert Riedel aus dem Jahr 2007 (Markoff Equation and Nilpotent Matrices, arxiv:0709.1499) wird diskutiert in dem langen Artikel von Serge Perrine: De Frobenius à Riedel: analyse des solutions de l’équation de Markoff, Archive-Ouvertes (PDF; 713 kB).
4. ↑ Diese genügen, mit den Startwerten ${\displaystyle p_{0}=0}$ und ${\displaystyle p_{1}=1}$, der Rekursion ${\displaystyle p_{i}=2p_{i-1}+p_{i-2}}$. Die Pell-Zahlen mit ungeradem ${\displaystyle i}$ haben die Eigenschaft, dass ${\displaystyle 2p_{i}^{2}-1}$ eine Quadratzahl ist (sie sind Lösungen ${\displaystyle y}$ der Pellschen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1\,}$).
5. ↑ Ying Zhang: Congruence and Uniqueness of Certain Markov Numbers, Acta Arithmetica 128 3, 2007, 295–301
6. ↑ Es gilt nämlich ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(3xy-z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+9x^{2}y^{2}-6xyz=9x^{2}y^{2}-3xyz=3(3xy-z)xy\,}$.
7. ↑ Don B. Zagier: On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound. In: Mathematics of Computation, 160, 1982, S. 709–723, ams.org (PDF; 1,2 MB)
8. ↑ Siehe den Vortrag von M. Waldschmidt (Memento vom 24. Februar 2014 im Internet Archive; PDF; 4,2 MB)
9. ↑ Folge A002559 in OEIS