Lebenszyklus-Graph für einen altersklassifizierenden Lebenszyklus

Zur Konstruktion eines Matrix-Populations-Modells eignet sich ein sog. Lebenszyklus-Graph. Als Beispiel sei hier ein vereinfachtes Modell erwähnt: ein Lebenszyklus-Graph für einen altersklassifizierenden Lebenszyklus.

Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen aus dem Modell können mit folgender zunächst allgemeiner Gleichung erfasst werden (S. 69):

(3)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+1)={\boldsymbol {A}}{\vec {n}}(t)}$.

Hierbei stellt A die Populations-Projektions-Matrix dar und wird im Falle von altersklassifizierenden Lebenszyklus-Modellen auch als Leslie-Matrix bezeichnet. Der Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ beschreibt die Zustandshäufigkeits-Verteilung und wird auch Populations-Vektor genannt. Der Zeitunterschied ${\displaystyle t\rightarrow t+1}$ wird hierbei als Projektionsintervall bezeichnet.

Entsprechend dem Lebenszyklus-Graphen aus Abb. 1 lassen sich die Elemente der Matrix A und die Elemente des Populations-Vektors ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ wie folgt in die Gleichung (3) einfügen:

(4)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+1)={\begin{pmatrix}0&F_{2}&F_{3}\\P_{1}&0&0\\0&P_{2}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}(t)}$.

Die Matrix A enthält die skalaren Elemente ${\displaystyle F_{i}\geq 0}$ für die Reproduktionswahrscheinlichkeiten (F von ‚fertility‘) und ${\displaystyle P_{i}\geq 0}$ für die Wahrscheinlichkeiten des Übergangs in den nächsten Zustand. Der Populations-Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ enthält die Zustandshäufigkeits-Verteilung als Spalten-Vektor mit den skalaren Elementen ${\displaystyle n_{i}}$ für die gilt: ${\displaystyle n_{i}\geq 0}$, und die im exemplarisch genannten Modell mit drei Zuständen bei Bedarf normiert sein können auf: ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{3}n_{i}=1.}$

Nach Ausführung der Matrix-Multiplikation (Matrix mal Vektor) erhält man dann nach dem vorgesehenen ersten Projektionsintervall ${\displaystyle t+1}$ folgendes Ergebnis für den Populations-Vektor:

(5)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+1)={\begin{pmatrix}F_{2}\cdot n_{2}+F_{3}\cdot n_{3}\\P_{1}\cdot n_{1}\\P_{2}\cdot n_{2}\end{pmatrix}}(t+1)}$.

Dieses zunächst formale Ergebnis kann man in der Abb. 1 verifizieren durch die jeweiligen Ergebnisse ‚am Ende der Pfeile‘: die Übergangswahrscheinlichkeit (${\displaystyle F_{2},F_{3},P_{1},P_{2}}$) multipliziert mit der zugehörigen Populationsgröße ${\displaystyle n_{i}}$ im jeweiligen Ausgangszustand 1, 2 oder 3. Durch Mehrfach-Ausführung eines solchen Projektionsschrittes, also eine Mehrfach-Ausführung der Matrix-Multiplikation und unter Verwendung konkreter Zahlenwerte, lässt sich nun die Entwicklung des Populations-Vektors ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ über eine Vielzahl von Projektionsschritten im Rahmen des mathematischen Modells verfolgen bzw. voraussagen. Die Populations-Matrix A aus Gleichung (3) mit ihren Elementen kann hierbei im Modell konstant sein, sie kann aber auch variieren. Wenn sie variiert, dann kann sie von externen Faktoren z. B. dem Wetter, oder auch von internen Zuständen der Population selbst abhängen. Weiterhin können zufällige oder deterministische Effekte auftreten, und das Verhalten kann periodisch oder aperiodisch sein.

Lebenszyklus-Graph für einen größenklassifizierenden Lebenszyklus

Mit einem weiteren Modell lässt sich ein größenklassifizierender Lebenszyklus-Graph mathematisch beschreiben. Abb. 2 zeigt einen solchen Graphen mit den Zuständen (states) S₁, S₂ und S₃. Diese Zustände beschreiben hier drei Größenklassen, wobei die Größe für den Folgezustand jeweils zunehmen soll. Ein Individuum kann von den Zuständen S₁ & S₂ in den jeweils nächsten Zustand gelangen mit der Wahrscheinlichkeit G_i und mit den Wahrscheinlichkeiten P_i auch im jeweiligen Zustand S₁, S₂ oder S₃ verweilen. Reproduktion wird durch die Wahrscheinlichkeiten F₂ und F₃ beschrieben und produziert neue Individuen im Zustand S₁. Sogenannte ‚absorbierende Zustände‘ sind in diesem Graphen nicht explizit eingezeichnet. Ein solcher absorbierender Zustand (Keyfitz/Caswell, S. 246, Zeilen 13–14) liegt vor, sobald ein Individuum in einen Zustand kommt, diesen aber niemals mehr verlassen kann. Der Zustand S₃ wird beispielsweise zu einem absorbierenden Zustand, wenn gilt: F₃ = 0 und P₃ = 1.

Durch geeignetes Einfügen der Wahrscheinlichkeiten F₂, F₃, G₁, G₂, P₁, P₂ und P₃ aus Abb. 2 in die Populations-Projektions-Matrix A aus Gleichung (3) erhält man folgenden Populationsvektor für den Projektionsschritt ${\displaystyle t+1}$:

(6)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+1)={\begin{pmatrix}P_{1}&F_{2}&F_{3}\\G_{1}&P_{2}&0\\0&G_{2}&P_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}(t)}$.

Nach Ausmultiplizieren der Matrix mal den Populations-Vektor erhält man für diesen ersten Projektionsschritt im Detail:

(7)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+1)={\begin{pmatrix}P_{1}\cdot n_{1}+F_{2}\cdot n_{2}+F_{3}\cdot n_{3}\\G_{1}\cdot n_{1}+P_{2}\cdot n_{2}\\G_{2}\cdot n_{2}+P_{3}\cdot n_{3}\end{pmatrix}}(t+1)}$.

Ähnlich verhält sich dies für den zweiten Projektionsschritt, man erhält durch wiederholte Multiplikation mit der zugehörigen Populations-Projektions-Matrix A die folgende Gleichung:

(8)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+2)={\begin{pmatrix}P_{1}&F_{2}&F_{3}\\G_{1}&P_{2}&0\\0&G_{2}&P_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{1}\cdot n_{1}+F_{2}\cdot n_{2}+F_{3}\cdot n_{3}\\G_{1}\cdot n_{1}+P_{2}\cdot n_{2}\\G_{2}\cdot n_{2}+P_{3}\cdot n_{3}\end{pmatrix}}(t+1)}$

und kann zum Ausmultiplizieren wiederum die Matrix-Multiplikation (Matrix mal Vektor) darauf anwenden.

Für den Fall von m diskreten Projektionsschritten unter Anwendung von Mehrfach-Multiplikationen der Matrix A für diese Projektionsschritte und unter Berücksichtigung der Klammersetzung bei Produkten (Assoziativität von Matrizen) lässt sich die Gleichung (3) wie folgt schreiben als:

(9)

${\displaystyle {\vec {n}}(t+m)={\boldsymbol {A}}^{m}{\vec {n}}(t)}$.

Hierbei bedeutet ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{m}}$ eine Mehrfach-Multiplikation (Matrix mal Matrix für Blockmatrizen) der Matrix A mit sich selbst – unter Anwendung von genau m Matrix-Multiplikationen. Bereits bei P. H. Leslie (1945) findet man diese Art der Matrix-Potenzierung in der Form: ‚matrix M^t‘.

Allgemein merkt die Quelle Keyfitz/Caswell an, dass ein Matrix-Modell eine große Menge an Informationen (‚contains a great deal of information‘, S. 245, Zeile 7) über die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten, und über die zugehörigen Sequenzen beinhaltet.

Bei Bedarf lassen sich Markow-Ketten statt für diskrete Zeitschritte auch als mathematischer Markow-Prozess im kontinuierlichen Zeitbereich auswerten. Die Quelle ‚van Kampen‘ definiert dabei Markow-Ketten als Klasse von Markow-Prozessen, wobei laut Quelle für Markow-Ketten insbesondere diskrete ganzzahlige Zeitschritte gelten. Mit der etwas komplexeren sogenannten Mastergleichung (Pauli-Mastergleichung oder ‚M-Equation‘) lassen sich nun Markow-Prozesse im kontinuierlichen Zeitbereich auswerten.

Lebenszyklus-Graph für das Durchlaufen eines Ausbildungssystems

Ein etwas komplexeres Modell wird nötig, um einen Graphen als Darstellung des Durchlaufens eines Ausbildungssystems bis zum Zustand der Erwerbstätigkeit mathematisch zu beschreiben. Die Klassifizierung der Ausbildungsstufen für das Modell aus Keyfitz/Caswell (S. 248) erfolgt hier jedoch etwas vereinfacht in nur fünf „Zuständen“ S₁ bis S₅. Die Einteilung in diesem noch recht allgemeinen System erfolgt in S₁: Schulklassen 1-4, S₂:Schulklassen 5-8, S₃: Schulklassen 9-12, S₄: Fachausbildung (‚Technical‘), S₅: Hochschule (‚College‘). Als abschließender Zustand in diesem Modell wird die Erwerbstätigkeit mit Zustand S₆ beschrieben. Dieser Zustand S₆ wird in diesem beschriebenen Modell als absorbierender Zustand erfasst, d. h. von diesem Zustand aus werden weitere Zustände nicht mehr erreicht, weder durch Reproduktion, noch durch Tod oder durch andere Übergänge. Der absorbierende Zustand S₆ ist damit auch kein Übergangszustand.

Zur mathematischen Beschreibung bietet es sich an, die Populations-Projektions-Matrix A aufzusplitten in:

(10)

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {F}}}$ mit den Dimensionen ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}s\times s\end{array}}\right)}$ je Einzelmatrix.

Hierbei beschreibt die Matrix T die Übergänge (ohne Reproduktion und ohne Wiederholungen), die Matrix F beschreibt die Reproduktionen, s ist die Zahl der Übergangszustände (states) im Modell ohne den absorbierenden Zustand S₆ und damit sowohl die Zahl der Zeilen als auch die Zahl der Spalten der jeweiligen Blockmatrix. Je nach Fokus der Untersuchungen im jeweiligen Modell lässt sich nun T (transition matrix) oder eher F (fertility matrix) genauer untersuchen. Im vorliegenden Fall des Modells aus Abb. 3 wird die Matrix T genauer untersucht. Bei fünf Übergangszuständen ist die Dimension dieser Matrix dann s = 5. Der in diesem Modell absorbierende Zustand S₆ (Erwerbstätigkeit) zählt hierbei separat. Die Übergangswahrscheinlichkeiten, die zu diesem Zustand S₆ führen, werden mit dem Zeilen-Vektor m erfasst und in Gleichung (11) genutzt, um die Matrix T auf die größere Matrix P zu erweitern. Reproduktionen werden hierbei, wie schon erwähnt, nicht abgebildet. Die Elemente der zugehörigen Matrix F sind in diesem Falle 0 und werden als Spalten-Vektor 0 in Gleichung (11) erfasst. Zur Beschreibung der Markow-Kette wird folgende verkürzte mathematische Darstellung für die Übergangsmatrix P genutzt:

(11)

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\left({\begin{array}{c|c}{\boldsymbol {T}}&{\boldsymbol {0}}\\\hline {\boldsymbol {m}}&1\end{array}}\right)}$ mit den Dimensionen ${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}s\times s&s\times 1\\\hline 1\times s&1\times 1\end{array}}\right)}$ unter Berücksichtigung von ${\displaystyle {\text{Zeilenzahl}}\times {\text{Spaltenzahl}}}$.

Die Zustände S₁ bis S₅ werden als ‚Übergänge‘ betrachtet, d. h. sie haben jeweils einen erreichbaren Folgezustand. Sie werden mit der Übergangsmatrix T erfasst. Die in dieser Formel (11) genutzte Darstellung ${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}&\\\hline &\end{array}}\right)}$ mit Markierungslinien zwischen den Einzelelementen der Matrix wird zur Kennzeichnung genutzt, um zu visualisieren, dass es sich hierbei um eine entsprechend zusammengesetzte Matrix handelt. Für den Zeilen-Vektor m ist zu berücksichtigen, dass die Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten in Gleichung (11) je Spalte in der Matrix P genau 1 ergeben muss:

(12)

${\displaystyle \sum _{i}{t_{ij}}+m_{j}=1}$

mit m_j als Elemente vom Zeilen-Vektor m und t_ij als Elemente von Matrix T.

Weiterhin gilt, analog zu Gleichung (3), für im jetzigen Fall einen Spalten-Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, der die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände aus Abb. 3 widerspiegeln soll, folgende Gleichung:

(13)

${\displaystyle {\vec {x}}(t+1)={\boldsymbol {P}}{\vec {x}}(t)}$.

Zur Erstellung der Matrix P bzw. der Matrix T geht man nun wie folgt exemplarisch vor: Die Übergangswahrscheinlichkeit p₃₂ bei Spalte 2 und Zeile 3 für die unten folgende Gleichung (14) gilt für den Übergang von Zustand S₂ ‚alt‘ nach Zustant S₃ ‚neu‘ und ist laut Abb. 3 auch als Übergang vorgesehen. Ist für die zu prüfende Stelle in der Matrix kein Übergang im Lebenszyklus-Graph vorgesehen, so wird eine Null (‚0‘) an der zugehörigen Position der Matrix vermerkt. Alle Elemente der Matrix sind entsprechend zu prüfen. Aus dem Lebenszyklusgraphen aus Abb. 3 erhält man letztlich inklusive der Übergänge in den absorbierenden Zustand S₆ für die Übergangsmatrix P folgende Gleichung:

(14)

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\left({\begin{array}{ccccc|c}0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&p_{32}&0&0&0&0\\0&0&p_{43}&0&0&0\\0&0&p_{53}&0&0&0\\\hline 0&1-p_{32}&1-p_{43}-p_{53}&1&1&1\end{array}}\right)}$ mit der Gesamt-Dimension ${\displaystyle (s+1)\times (s+1)}$.

Hieraus wird deutlich, dass die Übergangsmatrix P zwar für die Berechnung der Projektionsschritte ${\displaystyle t\rightarrow t+1}$ benötigt wird, aber die etwas kleinere Matrix T zur Erfassung der Wahrscheinlichkeitswerte der Übergänge der Markow-Kette genügt. Die Matrix P lässt sich dann aus T berechnen. Des Weiteren sieht man an diesem Beispiel, dass sich ‚Verzweigungen‘ in einem Lebenszyklus-Graphen, z. B. von Zustand S₃ nach S₄ bzw. nach S₅ in einfacher Weise mittels eines Matrix-Modells abbilden lassen.

Allgemein merkt Quelle (D. Schulz, 2010) zu Markow-Ketten an, dass sie ein einfaches und anschauliches Modell sind, um realweltliche Vorgänge mathematisch abzubilden.

Forscher des Bundesinstituts für Bevölkerungsforschung (BiB, Deutschland) berichten, dass es bzgl. Kinderlosigkeit „erhebliche Unterschiede zwischen den Berufen gibt. 2009 war die Kinderlosigkeit bei Landwirtinnen und nicht erwerbstätigen Frauen (meist Hausfrauen) am geringsten.“. Eine hohe Kinderlosigkeit findet man hingegen bei „Geschäftsführerinnen“, dort „lag der Anteil der kinderlosen Frauen bei 45 Prozent.“ Weitere Quellen berichten: „gebären Frauen mit Hochschulabschluss in Deutschland immer noch deutlich weniger Kinder als Frauen ohne Uniabschluss“ (Artikel von 2012) und die „Zahl der Hochschulabsolventinnen ohne Nachwuchs steigt hierzulande weiter an“ (Deutschland, 2018). Ähnlich werden Unterschiede der Kinderzahl pro Frau in Abhängigkeit von der Staatsangehörigkeit berichtet, z. B. „Bekommen Österreicherinnen durchschnittlich 1,27 Kinder in ihrem Leben, so sind es bei Ausländerinnen (Herkunft) 1,84 Kinder.“

Eine sorgfältige Untersuchung unterschiedlicher Lebenswegentscheidungen mittels des mathematischen Modells der Markow-Ketten, ob die Ermittlung der genauen Verursacher und der Quellen der Ablenkung vom Familiengeschehen, mit einer folgenden sowohl ausreichend umfangreichen als auch rechtlich zulässigen Kompensation durch die Verursacher exakt an diesen ermittelten Stellen, zu einer Angleichung der unterschiedlichen Werte der Kinderzahl pro Frau z. B. bei unterschiedlichen Berufen, bzw. unterschiedlicher Ausbildung oder bei unterschiedlicher Staatsangehörigkeit führen kann, ist in Quelle Keyfitz/Caswell bisher nicht auffindbar.