Torus mit Loch

(McShane 1991): Für die einfachen geschlossenen Geodäten in einem hyperbolischen Torus mit Loch gilt die Identität

${\displaystyle \sum _{\gamma }{\frac {1}{1+e^{l(\gamma )}}}={\frac {1}{2}}}$,

wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten ${\displaystyle \gamma }$ summiert wird und ${\displaystyle l(\gamma )}$ die Länge der geschlossenen Geodäte bezeichnet.

Beliebige hyperbolische Flächen

(McShane 1998): Für eine hyperbolische Fläche mit einer Spitze gilt

${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta }{\frac {1}{1+e^{\frac {l(\alpha )+l(\beta )}{2}}}}={\frac {1}{2}}}$,

wobei über alle diejenigen Paare geschlossener einfacher Geodäten summiert wird, die gemeinsam mit der Spitze eine Hose beranden.

Mirzakhanis Verallgemeinerung

Die folgende von Mirzakhani bewiesene Formel diente als Ausgangspunkt für ihre Berechnung des Weil-Petersson-Volumens der Modulräume hyperbolischer Metriken auf (berandeten) Flächen.

Für eine hyperbolische Fläche, deren Randkomponenten ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$ geschlossene Geodäten der Längen ${\displaystyle L_{1},L_{2},\ldots ,L_{n}}$ sind, gilt:

${\displaystyle \sum _{\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}}{\mathfrak {D}}(L_{1},l(\gamma _{1}),l(\gamma _{2}))+\sum _{i=2}^{n}\sum _{\gamma }{\mathfrak {R}}(L_{1},L_{i},l(\gamma ))=L_{1}}$.

Hierbei ist die erste Summe über alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodäten ${\displaystyle \{\gamma _{1},\gamma _{2}\}}$, die mit ${\displaystyle \beta _{1}}$ eine Hose beranden, die zweite Summe ist über alle geschlossenen einfachen Geodäten ${\displaystyle \gamma }$, die mit ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{i}}$ eine Hose beranden. Die Funktionen ${\displaystyle {\mathfrak {D}},{\mathfrak {R}}\colon \mathbb {R} _{+}^{3}\to \mathbb {R} _{+}}$ werden durch die Geometrie der Hosen definiert, eine explizite Formel ist

${\displaystyle {\mathfrak {D}}(x,y,z)=2\log \left({\frac {e^{\frac {x}{2}}+e^{\frac {y+z}{2}}}{e^{\frac {-x}{2}}+e^{\frac {y+z}{2}}}}\right),{\mathfrak {R}}(x,y,z)=x-\log \left({\frac {\cosh({\frac {y}{2}})+\cosh({\frac {x+z}{2}})}{\cosh({\frac {y}{2}})+\cosh({\frac {x-z}{2}})}}\right).}$