Elektrisch geladene Tröpfchen im Feld eines Plattenkondensators

Mit einem Zerstäuber werden zunächst feinste Öltröpfchen erzeugt, die so klein (etwa 0,5 µm Durchmesser) sind, dass man sie mit einem herkömmlichen Mikroskop nicht mehr direkt beobachten kann. Um sie dennoch zu verfolgen, bedient man sich der Dunkelfeldmethode, bei der man die Öltröpfchen in einem Winkel von etwa 150° zum Betrachter, also aus fast entgegengesetzter Richtung beleuchtet und die dabei entstehenden Beugungsscheibchen im Mikroskop verfolgt (wobei zu beachten ist, dass das Mikroskop oben und unten vertauscht, man also die Beugungsscheibchen sinkender Öltröpfchen nach oben wandern sieht und umgekehrt). Wenigstens ein Teil der Öltröpfchen muss dabei elektrisch geladen sein, was in Millikans Versuchsaufbau durch eine Röntgenröhre erreicht wurde, deren ionisierende Strahlung die Öltröpfchen elektrostatisch auflud. In der Regel aber genügt schon die Reibung der Öltröpfchen aneinander beim Zerstäuben oder an der Luft, um sie hinreichend aufzuladen.

Anschließend gelangen die Tröpfchen zwischen die Platten eines Plattenkondensators. Die Öltröpfchen sind so klein, dass für sie die Luft wie eine zähe Flüssigkeit wirkt. Sie schweben lange Zeit als Aerosol in der Luft. Das elektrische Feld des Kondensators übt jedoch eine Kraft auf geladene Öltröpfchen aus, die die Schwerkraft weit übersteigt. Die Coulomb-Kraft zieht die positiv geladenen Tröpfchen zur negativ geladenen Platte des Kondensators. Die daraus resultierende Bewegung lässt sich als Bewegung der mit dem Mikroskop erkennbaren Beugungsmuster beobachten.

Der nicht erreichbare Schwebefall

Montiert man die Platten des Kondensators horizontal übereinander, kann man durch Anlegen einer geeigneten Spannung an die Platten eine elektrische Kraft auf die Tröpfchen ausüben, die die Summe der beiden erstgenannten Kräfte kompensiert, die nach unten wirkende Gewichtskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {G} }}$ sich also die Waage mit der Summe der elektrischen Kraft ${\displaystyle F_{\mathrm {E} }}$ sowie der Auftriebskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }}$ hält und das betreffende Öltröpfchen damit im Prinzip schwebt.

Durch Lösen der Gleichung ${\displaystyle F_{\mathrm {E} }=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} }}$ könnte nun also vom Grundsatz her die Ladung der Öltröpfchen bestimmt werden – praktisch aber scheitert das daran, dass die Beugungsscheibchen im Mikroskop keinerlei Rückschlüsse auf den Radius der Öltröpfchen zulassen, die rechte Seite der Gleichung also unbestimmt bleibt. Hinzu kommt, dass der Schwebezustand aufgrund der brownschen Bewegung nur schwer exakt zu erkennen ist.

Indirekte Bestimmung des Tröpfchenradius über die stokessche Reibung

Um den Radius der Tröpfchen dennoch zu ermitteln, kann man den Umstand nutzen, dass sich nicht nur durch das elektrische Feld im Kondensator, sondern auch durch den Einfluss der geschwindigkeitsabhängigen stokesschen Reibungskraft ein Kräftegleichgewicht einstellt, allerdings nun nicht in Form eines Schwebezustands der betreffenden Öltröpfchen, sondern einer konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ ihres Fallens bzw. Steigens.

In der Praxis gibt es dazu zwei verschiedene Verfahren: Bei der „Einfeldmethode“ misst man nach einem angenähert erreichten Schwebezustand eines ausgewählten Öltröpfchens seine Fallgeschwindigkeit allein aufgrund der Schwerkraft, bei der „Zweifeldmethode“ dagegen lässt man das Öltröpfchen zunächst einmal vom Feld des Kondensators nach unten und (nach Umpolen des Feldes) anschließend wieder nach oben ziehen, wobei man jeweils die Sinkgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{1}}$ sowie Steiggeschwindigkeit ${\displaystyle v_{2}}$ des Tröpfchens protokolliert.

Die Schwebemethode

Ein ausgewähltes Öltröpfchen wird durch Variation der Kondensatorspannung annähernd zum Stillstand (Schweben) gebracht und anschließend bei ausgeschaltetem elektrischem Feld seine Fallgeschwindigkeit gemessen. Sobald sich beim Fallen des Öltröpfchens ein Gleichgewicht zwischen Reibung, Auftrieb und Gewicht eingestellt hat, gilt:

${\displaystyle F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} }}$

Einsetzen der bekannten Zusammenhänge ergibt:

${\displaystyle 6\pi \eta v_{1}r={\frac {4}{3}}r^{3}\pi \left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}$

Umstellen nach ${\displaystyle r}$ ergibt:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {9v_{1}\eta }{2\left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}}}}$

Damit ist der Radius der Öltröpfchen alleine aus der messbaren Fallgeschwindigkeit bestimmbar. Um zur Ladung zu gelangen, wird nun der Schwebezustand betrachtet. In diesem gilt analog der obigen Formel die Gleichung:

${\displaystyle F_{\mathrm {E} }=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} }}$

da sich nun die elektrische Kraft im Gleichgewicht mit Gewichts- und Auftriebskraft befindet. Einsetzen der Zusammenhänge für die Kräfte ergibt:

${\displaystyle {\frac {qU}{d}}={\frac {4}{3}}r^{3}\pi \left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}$

Das kann nach der Ladung umgeformt werden:

${\displaystyle q={\frac {\left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right){\frac {4}{3}}\pi r^{3}gd}{U}}}$

Einsetzen der Gleichung für ${\displaystyle r}$ in die Gleichung für ${\displaystyle q}$ liefert eine Gleichung für die Ladung, die nur noch von den messbaren Größen Spannung und Fallgeschwindigkeit abhängt:

${\displaystyle q={\frac {9\pi d}{U}}{\sqrt {\frac {2\eta ^{3}v_{1}^{3}}{\left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}}}}$

Somit kann aus den Messgrößen direkt die Ladung und der Radius berechnet werden.

Die Gleichfeldmethode

Bei gegebener Kondensatorspannung wird für ein ausgewähltes sich zunächst nach unten bewegendes Öltröpfchen seine Sinkgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{1}}$ und anschließend, nach Umpolung des elektrischen Feldes bei betragsmäßig beibehaltener Kondensatorspannung, seine Steiggeschwindigkeit ${\displaystyle v_{2}}$ bestimmt. Im Falle des Sinkens gilt:

${\displaystyle F_{\mathrm {G} }+F_{\mathrm {E} }=F_{\mathrm {R,1} }+F_{\mathrm {A} }}$

Im Falle des Steigens gilt:

${\displaystyle F_{\mathrm {G} }+F_{\mathrm {R,2} }=F_{\mathrm {E} }+F_{\mathrm {A} }}$

Subtrahieren der beiden Gleichungen voneinander, Einsetzen der bekannten Zusammenhänge und Auflösen nach ${\displaystyle r}$ liefert:

${\displaystyle r={\frac {qU}{3\pi d\eta \left(v_{1}+v_{2}\right)}}}$

Einsetzen dieser Gleichung in eine der beiden Kraftgleichungen liefert eine Gleichung für die Ladung

${\displaystyle q={\frac {9\pi d}{2U}}{\sqrt {\frac {(v_{1}-v_{2})\eta ^{3}}{\left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}}}(v_{1}+v_{2})}$

Einsetzen der Gleichung für ${\displaystyle q}$ in die Gleichung für ${\displaystyle r}$ liefert für den Radius

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {(v_{1}-v_{2})\eta }{\left(\rho _{\mathrm {O} }-\rho _{\mathrm {L} }\right)g}}}}$

Nun sind sowohl Radius als auch Ladung allein durch messbare Größen bestimmbar.

Cunningham-Korrektur

Da die Größe der Öltröpfchen im Bereich der mittleren freien Weglänge von Luft liegt, sollte für die Stokessche Reibung noch die Cunningham-Korrektur berücksichtigt werden. Dabei wird die Reibungskraft um einen Term erweitert, der im Normalfall bei großen Körpern vernachlässigt werden kann:

${\displaystyle F_{\mathrm {R} }\rightarrow F_{\mathrm {R} }\left(1+{\frac {1{,}63\cdot \lambda }{r}}\right)^{-1}}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ die mittlere freie Weglänge von Luft und ${\displaystyle r}$ der Tröpfchenradius ist. Die Gleichungen müssen nun neu gelöst werden und werden etwas komplexer, aber auch signifikant genauer.