Bivariate Verteilungsfunktion

Die Verteilung des Zufallsvektors ${\displaystyle Z}$ liegt bereits dann fest, wenn die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P(Z\in (-\infty ,x]\times (-\infty ,y])\quad {\text{für alle }}x,y\in \mathbb {R} }$

gegeben sind. Dies motiviert das Konzept der bivariaten Verteilungsfunktion des Zufallsvektors ${\displaystyle Z}$, die durch

${\displaystyle F_{Z}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)\quad {\text{für alle }}x,y\in \mathbb {R} }$

definiert ist. Durch Angabe der Funktion ${\displaystyle F_{Z}\colon \mathbb {R} ^{2}\to [0,1]}$ liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\displaystyle Z}$ fest, da sich aus den durch die Verteilungsfunktion angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeiten aller anderen Ereignisse ergeben.

Bivariate Dichtefunktion

Falls der Zufallsvektor ${\displaystyle Z}$ eine bivariate (oder zweidimensionale) Dichtefunktion ${\displaystyle f_{X,Y}}$ besitzt, dann besteht zwischen der bivariaten Verteilungsfunktion und der bivariaten Dichtefunktion der Zusammenhang

${\displaystyle F_{Z}(x,y)=\int _{-\infty }^{y}\int _{-\infty }^{x}f_{X,Y}(u,v)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$.

Somit liegt durch die Angabe einer bivariaten Dichtefunktion die bivariate Verteilungsfunktion und damit die bivariate Verteilung fest.

Bivariate Verteilung und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Wenn die Zufallsvariable diskret ist, dann kann man die gemeinsame Verteilung mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten so schreiben:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {und} \ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\end{aligned}}}$

und im stetigen Fall entsprechend

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y).}$

Hier sind ${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$ und ${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$ die bedingten Dichten (${\displaystyle Y}$ unter der Bedingung ${\displaystyle X=x}$, bzw. von ${\displaystyle X}$ unter der Bedingung ${\displaystyle Y=y}$) und ${\displaystyle f_{X}(x),f_{Y}(y)}$ die Dichten der Randverteilungen von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Stochastische Unabhängigkeit

Die Komponenten des Zufallsvektors ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn

${\displaystyle P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)\cdot P(Y\leq y)\quad {\text{für alle }}x,y\in \mathbb {R} }$

gilt. Anderenfalls liegt stochastische Abhängigkeit vor. Wenn für diskrete Zufallsvariablen

${\displaystyle P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)\quad {\text{für alle }}x,y\in \mathbb {R} }$

gilt oder wenn für stetige Zufallsvariablen

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)\quad {\text{für alle }}x,y\in \mathbb {R} }$

gilt, dann sind die Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ unabhängig.

Abhängigkeitsstruktur und Copula

Wenn die Komponenten des Zufallsvektors ${\displaystyle (X,Y)}$ nicht stochastisch unabhängig sind, kann die Abhängigkeitsstruktur durch die sogenannte Copula charakterisiert werden. In der Abbildung ist ein Beispiel für die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur mit Hilfe einer speziellen Copula gezeigt. Insbesondere ist das ein Beispiel dafür, dass eine bivariate Zufallsvariable mit normalen Randverteilungen nicht bivariat normalverteilt sein muss.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{P}}$ einer multivariaten Verteilung ${\displaystyle P\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]}$ ist durch

${\displaystyle F_{P}(x_{1},\dots ,x_{n})=P((-\infty ,x_{1}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}])\quad {\text{für alle }}(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

definiert.

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{X}}$ eines Zufallsvektors ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle F_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})=P(X\in (-\infty ,x_{1}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}])\quad {\text{für alle }}(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

definiert.

Besitzt der Zufallsvektor ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ eine Dichtefunktion ${\displaystyle f_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$, dann hängen die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{X}}$ und die Dichte ${\displaystyle f_{X}}$ über

${\displaystyle F_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=\int _{-\infty }^{x_{n}}\dots \int _{-\infty }^{x_{1}}f_{X}(u_{1},\dots ,u_{n})\mathrm {d} u_{1}\dots \mathrm {d} u_{n}}$

zusammen.

Randverteilungen

Es gibt für Randverteilungen mehr Möglichkeiten als im zweidimensionalen Fall, da nun Randverteilungen für jede niedrigere Dimension ${\displaystyle 1\leq k<n}$ existieren und man ${\displaystyle {n \choose k}}$ Möglichkeiten hat, einen ${\displaystyle k}$-dimensionalen Teilvektor aus einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektor auszuwählen. Beispielsweise gibt es im dreidimensionalen Fall zur Verteilung des Zufallsvektors ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3})}$ die drei eindimensionale Randverteilungen der Komponenten ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle X_{3}}$ sowie die drei zweidimensionale Randverteilungen der Teilvektoren ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$, ${\displaystyle (X_{1},X_{3})}$ und ${\displaystyle (X_{2},X_{3})}$.

Diskrete multivariate Verteilungen

Spezielle multivariate Verteilungen sind z. B. die Multinomialverteilung, die negative Multinomialverteilung, die multivariate Poissonverteilung, die multivariate hypergeometrische Verteilung, die multivariate Pólya-Eggenberger-Verteilung und die multivariate Ewens-Verteilung.

Stetige multivariate Verteilungen

Spezielle stetige multivariate Verteilungen sind z. B. die multivariate Normalverteilung, verschiedene Konzepte multivariater Exponentialverteilungen, Gammaverteilungen, logistischer Verteilungen, die multivariate Dirichlet-Verteilung, die multivariate Liouville-Verteilung und die multivariaten Extremwertverteilungen.