Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell $(\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})$ mit dominierter Verteilungsklasse ${\mathcal {P}}$ , die von $\nu$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ von ${\mathcal {A}}$ .

Dann ist ${\mathcal {S}}$ suffizient genau dann, wenn eine ${\mathcal {A}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))$ -messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in {\mathcal {P}}$ eine ${\mathcal {S}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))$ -messbare Funktion $f_{P}$ existiert, so dass

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(x)

gilt bis auf eine $\nu$ -Nullmenge. Dabei ist ${\tfrac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)$ die Radon-Nikodým-Ableitung von $P$ bezüglich $\nu$ .

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})

suffizient genau dann, wenn eine ${\mathcal {A}}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))$ -messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in {\mathcal {P}}$ eine ${\mathcal {A}}^{*}{-}{\mathcal {B}}([0,\infty ))$ -messbare Funktion $f_{P}$ existiert, so dass

{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(T(x))

gilt bis auf eine $\nu$ -Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass $T$ eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn $\sigma (T)$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie ${\mathcal {P}}$ bezüglich $\mu$ jedes $P\in {\mathcal {P}}$ die Dichtefunktion

f_{\vartheta }(x)={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \mu }}(x)=C(\vartheta )h(x)\exp(\langle Q(\vartheta );T(x)\rangle )

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. $h$ und $T$ sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

f_{P}(y)={\tilde {f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp(\langle Q(\vartheta );y\rangle )

um zu zeigen, dass $T$ eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.