Ogawa-Integral

Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden (englisch anticipating) Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral

\int _{0}^{1}W_{1}dW_{t},

wobei $(W_{t})_{t\in [0,1]}$ der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.

Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.

Ogawa-Integral

Sei

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,
$W=(W_{t})_{t\in [0,T]}$ ein eindimensionaler Standard-Wienerprozess mit $T\in \mathbb {R} _{+}$ ,
${\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}$ und $\mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}$ die natürliche Filtration,
${\mathcal {B}}([0,T])$ die borelsche σ-Algebra,
$\int f\;dW_{t}$ ist das Itō-Integral (resp. Wiener-Integral),
$dt$ das Lebesgue-Maß.

Mit $\mathbf {H}$ bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse $X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ , welche ${\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}$ -messbar und fast sicher in $L^{2}([0,T],dt)$ sind, das bedeutet

P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}dt<\infty \right)=1.

Ogawa-Integral

Sei $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes $L^{2}([0,T],dt)$ .

Ein Prozess $X\in \mathbf {H}$ heißt $\varphi$ -integrierbar, falls die zufällige Reihe

\int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }W_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dW_{t}

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis $\{\varphi _{n}\}$ .

Falls $X$ bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von $L^{2}([0,T],dt)$ $\varphi$ -integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man $X$ universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren $L^{2}(\Omega ,P)$ -Prozessen $Z_{t}$ (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

\int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }Z_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t},

sofern die Integrale

\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t}

definiert sind.

Erläuterungen

Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in () finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Regularität der Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt regulär, falls

\sup \limits _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)ds\right)^{2}dt<\infty .

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle $n$ eine endliche $L^{2}([0,T],dt)$ -Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann $\varphi$ -integrierbar, wenn $\{\varphi _{n}\}$ regulär ist.
Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für $L^{2}([0,1],dt)$ existiert.

Weiterführendes

Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel, eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow.
Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in () untersucht.

Beziehungen zu anderen Integralbegriffen

Stratonowitsch-Integral: Sei $X$ ein stetiges $\mathbf {F} ^{W}$ -adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.
Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in () untersucht.

Literatur

Shigeyoshi Ogawa: Noncausal Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer. Tokyo 2017, doi:10.1007/978-4-431-56576-5.

Einzelnachweise

↑ Shigeyoshi Ogawa: Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même. In: Gauthier-Villars (Hrsg.): C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A. Band 288, 1979, S. 359–362.
1 2 Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 238, doi:10.1142/9789812770493_0016.
↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 239–241, doi:10.1142/9789812770493_0016.
↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 242–243, doi:10.1142/9789812770493_0016.
↑ Pietro Majer und Maria Elvira Mancino: A counter-example concerning a condition of Ogawa integrability. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 31, 1997, S. 198–206 (numdam.org).
↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 250, doi:10.1142/9789812770493_0016.
↑ Shigeyoshi Ogawa: BPE and a Noncausal Girsanov’s Theorem. In: Sankhya A. Band 78, 2016, S. 304–323, doi:10.1007/s13171-016-0087-x.
↑ Nicolò Cangiotti und Sonia Mazzucchi: Notes on the Ogawa integrability and a condition for convergence in the multidimensional case. 2008, arxiv:1809.01370 [abs].
↑ David Nualart und Moshe Zakai: On the Relation Between the Stratonovich and Ogawa Integrals. In: The Annals of Probability. Band 17, Nr. 4, 1989, S. 1536–1540, doi:10.1214/aop/1176991172.
↑ David Nualart und Moshe Zakai: Generalized stochastic integrals and the Malliavin calculus. In: Probability Theory and Related Fields. Band 73, Nr. 2, 1986, S. 255–280.

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[1] Shigeyoshi Ogawa: Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même. In: Gauthier-Villars (Hrsg.): C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A. Band 288, 1979, S. 359–362.

[Ogawa2007-2] 1 2 Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 238, doi:10.1142/9789812770493_0016.

[3] Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 239–241, doi:10.1142/9789812770493_0016.

[4] Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 242–243, doi:10.1142/9789812770493_0016.

[5] Pietro Majer und Maria Elvira Mancino: A counter-example concerning a condition of Ogawa integrability. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 31, 1997, S. 198–206 (numdam.org).

[6] Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 250, doi:10.1142/9789812770493_0016.

[7] Shigeyoshi Ogawa: BPE and a Noncausal Girsanov’s Theorem. In: Sankhya A. Band 78, 2016, S. 304–323, doi:10.1007/s13171-016-0087-x.

[8] Nicolò Cangiotti und Sonia Mazzucchi: Notes on the Ogawa integrability and a condition for convergence in the multidimensional case. 2008, arxiv:1809.01370 [abs].

[9] David Nualart und Moshe Zakai: On the Relation Between the Stratonovich and Ogawa Integrals. In: The Annals of Probability. Band 17, Nr. 4, 1989, S. 1536–1540, doi:10.1214/aop/1176991172.

[10] David Nualart und Moshe Zakai: Generalized stochastic integrals and the Malliavin calculus. In: Probability Theory and Related Fields. Band 73, Nr. 2, 1986, S. 255–280.