In kartesischen Koordinaten

In der Regel geht man davon aus, dass die gegebene Kurvenschar implizit durch eine Gleichung der Form

(0) ${\displaystyle$ :\ F(x,y,c)=0,\qquad } 1. Beispiel ${\displaystyle$ :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad } 2. Beispiel ${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ .}$

beschrieben wird, wobei ${\displaystyle c}$ der Scharparameter ist. Falls die Kurvenschar explizit in der Form ${\displaystyle y=f(x,c)}$ gegeben ist, lässt sie sich auch durch ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$ implizit beschreiben. Für die im Folgenden nötigen Ableitungen wird immer stillschweigend vorausgesetzt, dass sie existieren.

1. Schritt

Durch implizites Differenzieren nach x ergibt sich

(1) ${\displaystyle$ :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad } im 1. Beispiel ${\displaystyle$ :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad } 2. Beispiel ${\displaystyle$ :\ y'-2cx=0\ .}

2. Schritt

Nun wird vorausgesetzt, dass man die Gleichung (0) nach dem Parameter ${\displaystyle c}$ auflösen kann und damit ${\displaystyle c}$ aus (1) eliminieren kann. Es entsteht dann eine Differentialgleichung erster Ordnung der Form

(2) ${\displaystyle$ :\ y'=f(x,y),\qquad } im 1. Beispiel ${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad } 2. Beispiel ${\displaystyle$ :\ y'=2{\frac {y}{x}}}

die von der gegebenen Kurvenschar erfüllt wird.

3. Schritt

Da die Steigung der Orthogonaltrajektorie im Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ der negative Kehrwert der Steigung der gegebenen Kurve in diesem Punkt sein muss, gilt für die Orthogonaltrajektorie die Differentialgleichung

(3) ${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad } im 1. Beispiel ${\displaystyle$ :\ y'=y/x\ ,\qquad } 2. Beispiel ${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {x}{2y}}}

4. Schritt

Diese Dgl. versucht man mit einem der zur Verfügung stehenden Verfahren zu lösen.
In beiden Beispielen ist Trennung der Veränderlichen geeignet. Als Lösung
im 1. Beispiel ergeben sich die Geraden ${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$ und
im 2. Beispiel die Ellipsen ${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

In Polarkoordinaten

Liegt die gegebene Kurvenschar in Polarkoordinaten implizit durch

(0p) ${\displaystyle$ :\ F(r,\varphi ,c)=0}

vor, so bestimmt man wie im kartesischen Fall die dazu gehörige parameterfreie Dgl.

(1p) ${\displaystyle$ :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }

(2p) ${\displaystyle$ :\ \varphi '=f(r,\varphi )}

der Kurvenschar. Die Dgl. der Orthogonaltajektorien in Polarkoordinaten ist dann (s. Heuser, S. 120)

(3p) ${\displaystyle$ :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}

Beispiel: Kardioiden:

(0p) ${\displaystyle$ :\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ } (im Bild: blau)

(1p) ${\displaystyle$ :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }

Elimination von ${\displaystyle c}$ ergibt die Dgl. der gegebenen Schar:

(2p) ${\displaystyle$ :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}

Die Dgl. der Orthogonaltrajektorien ist dann:

(3p) ${\displaystyle$ :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}

Nach Lösen dieser Dgl. mit Trennung der Veränderlichen ergibt sich schließlich

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ .}$

Dies ist die Kardioidenschar (im Bild rot), die durch Spiegelung der gegebenen Schar an der y-Achse entsteht.