Scheitelpunkt ermitteln

Hat man eine quadratische Funktion vom Normalparabeltyp der Form

${\displaystyle f(x)\,=ax^{2}+bx+c{\text{ mit }}a=-1{\text{ oder }}a=1}$

so muss man zunächst diese Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umformen:

${\displaystyle f(x)=a(x-d)^{2}+e}$

Aus ihr kann man den Scheitelpunkt ${\displaystyle S(d|e)}$ direkt ablesen.

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ wird dafür in die Form

${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$

überführt. Wenn diese Formel zu kompliziert erscheint, dann können die Schülerinnen und Schüler schrittweise die quadratische Ergänzung durchführen.

Der Scheitelpunkt lautet dann

${\displaystyle S\left(-{\frac {b}{2a}}\ {\Bigg |}\ c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Interpretation der Parameter a, d und e

Die Ausrichtung der Schablone nach oben oder unten und die Verschiebung des Scheitelpunkts vom Koordinatenursprung ist abhängig von den Parametern ${\displaystyle a,d}$ und ${\displaystyle e}$.

• Ist ${\displaystyle a=1}$, also positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet, bei ${\displaystyle a=-1}$ ist sie nach unten geöffnet.
• Der Umgang mit dem Parameter ${\displaystyle d}$ ist fehlerträchtig, weil in der Scheitelpunktform ein Minuszeichen vor dem ${\displaystyle d}$ steht. Ist ${\displaystyle d}$ selbst negativ, so wird die Parabel um den Betrag von ${\displaystyle d}$ nach links verschoben, andernfalls nach rechts.
• Der Parameter ${\displaystyle e}$ gibt die Verschiebung der Schablone nach oben oder unten an.

Überprüfung der Zeichnung

Nach dem Zeichnen der Parabel zur Funktion ${\displaystyle f(x)\,=ax^{2}+bx+c}$ kann das Ergebnis an den Achsenschnittpunkten überprüft werden:

• Ist der Schnittpunkt der Parabel mit der ${\displaystyle y}$-Achse bei dem Punkt ${\displaystyle (0|c)}$?
• Sind die Nullstellen, falls vorhanden, an den richtigen Stellen auf der ${\displaystyle x}$-Achse?