Leere Relation

Für eine nichtleere Trägermenge ${\displaystyle M}$ ist die leere Relation ein pathologisches Beispiel einer partiellen Äquivalenzrelation, die keine Äquivalenzrelation ist.

Bildgleichheit partieller Funktionen

Betrachte eine partielle Funktion ${\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}$, die nicht auf allen Elementen von ${\displaystyle A}$ definiert ist. Dann ist die Relation ${\displaystyle \approx }$ mit

${\displaystyle x\approx y}$ genau dann, wenn ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ definiert ist und ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ gilt,

eine partielle Äquivalenzrelation, aber nicht reflexiv. Sie ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv, denn wenn ${\displaystyle f(x)}$ nicht definiert ist, muss ${\displaystyle x\not \approx x}$ sein. Für solch ein ${\displaystyle x}$ gibt es überhaupt kein ${\displaystyle y\in A}$ mit ${\displaystyle x\approx y}$. Die Gleichheit ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ kann durch eine beliebige partielle Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle B}$ ersetzt werden.

Verträgliche Funktionen

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Mengen mit partiellen Äquivalenzrelationen ${\displaystyle \approx _{A},\approx _{B}}$. Für Funktionen ${\displaystyle f,g:A\to B}$ definiere ${\displaystyle f\approx g}$ als:

${\displaystyle f(x)\approx _{B}g(y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ mit ${\displaystyle x\approx _{A}y}$.

Dann bedeutet ${\displaystyle f\approx f}$, dass ${\displaystyle f}$ mit den partiellen Äquivalenzrelationen verträglich ist, also die induzierte Funktion ${\displaystyle {\overline {f}}\colon A/\approx _{A}\to B/\approx _{B}}$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert ist.

Gleichheit auf Gleitkommazahlen

Die Norm IEEE 754 definiert eine partielle Äquivalenzrelation, die in den meisten Programmiersprachen mit == ausgedrückt wird. Sie ist symmetrisch und transitiv, jedoch für undefinierte Werte (NaN-Werte) nicht reflexiv.