Definition durch eine Gruppenoperation

Sei ${\displaystyle (G,\cdot )}$ eine Gruppe mit dem neutralen Element ${\displaystyle e}$. ${\displaystyle G}$ operiert genau dann als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle M}$, wenn gilt:

1. ${\displaystyle M}$ ist eine endliche Menge.
2. ${\displaystyle G}$ operiert auf ${\displaystyle M}$, das bedeutet, dass eine Abbildung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M,(g,m)\mapsto g\circ m\in M}$ existiert, die den Regeln ${\displaystyle e\circ m=m,(g\cdot h)\circ m=g\circ (h\circ m)}$ für alle ${\displaystyle m\in M;\;g,h\in G}$ gehorcht.
3. Die Operation ${\displaystyle \circ }$ ist treu (engl.: faithful), das heißt, es gilt: Ist ${\displaystyle g\circ m=h\circ m}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$, dann folgt ${\displaystyle g=h}$. Oder es gilt gleichwertig: ${\displaystyle g\circ m=m}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$, dann folgt ${\displaystyle g=e}$.

Eine Gruppenoperation, die nur die 2. und 3. Bedingung erfüllt, heißt treu. ${\displaystyle G}$ operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle M}$, wenn die Operation treu und ${\displaystyle M}$ endlich ist. Eine Gruppenoperation, die nur die 1. und 2. Bedingung erfüllt, wird als Permutationsdarstellung (engl.: permutation representation) von ${\displaystyle G}$ bezeichnet. ${\displaystyle G}$ operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle M}$, wenn die Gruppenoperation eine treue Permutationsdarstellung ist.

Definition durch einen Gruppenhomomorphismus

Gleichwertige Beschreibung: ${\displaystyle G}$ operiert genau dann als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle M}$, falls ${\displaystyle M}$ eine endliche Menge ist und ein injektiver Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \phi :G\rightarrow S(M)}$ existiert. Dabei ist ${\displaystyle S(M)=\{\alpha \in M^{M}:\;\alpha \;{\text{ist bijektiv}}\}}$, also die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen der Menge ${\displaystyle M}$. Bei dieser Beschreibung ist die Operation ${\displaystyle \circ }$ aus der ersten Definition durch ${\displaystyle g\circ m=(\phi (g))(m)}$ gegeben, die Forderung der Injektivität ist gleichwertig zur Forderung, dass die Operation treu sei.

Man beachte, dass bei den hier genannten Definitionen für eine Permutationsgruppe nicht gesondert gefordert werden muss, dass die Gruppe ${\displaystyle G}$ endlich sei; dies ergibt sich aus der Endlichkeit von ${\displaystyle M}$.

Isomorphie als Permutationsgruppen

Für zwei Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$, die auf zwei endlichen Mengen ${\displaystyle M}$ bzw. ${\displaystyle N}$ als Permutationsgruppen operieren, wird eine Verschärfung des Isomorphiebegriffs definiert: ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ heißen isomorph als Permutationsgruppen genau dann, wenn ein Gruppenisomorphismus ${\displaystyle \sigma :G\rightarrow H}$ und eine Bijektion ${\displaystyle \psi :M\rightarrow N}$ existiert, so dass ${\displaystyle \psi (g\circ m)=(\sigma (g))\circ \psi (m)}$ für alle ${\displaystyle g\in G,m\in M}$ gilt. Man kann zeigen, dass zwei Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$, die auf derselben Menge ${\displaystyle M=N=\{1,2,\ldots ,n\}}$ treu operieren, genau dann als Permutationsgruppen isomorph sind, wenn ihre durch die Gruppenoperationen bestimmten Bildgruppen ${\displaystyle \phi _{1}(G),\phi _{2}(H)<S_{n}}$ in der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ konjugierte Untergruppen sind, das heißt, wenn sie durch Konjugation mit einem festen Gruppenelement aufeinander abgebildet werden können.

Semiregulär und regulär

• Wenn ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$ als Permutationsgruppe operiert, wird diese Operation genau dann semiregulär und ${\displaystyle G}$ semireguläre Permutationsgruppe genannt, wenn das einzige Element von ${\displaystyle G}$, das irgendein Element von ${\displaystyle M}$ fixiert, das Einselement von ${\displaystyle G}$ ist. Formal: ${\displaystyle \left(\exists m\in M:g\circ m=m\right)\Rightarrow g=e.}$

• Die Operation heißt genau dann regulär und man nennt ${\displaystyle G}$ genau dann eine reguläre Permutationsgruppe auf ${\displaystyle M}$, wenn die Operation semiregulär und transitiv ist. Die Operation heißt transitiv, wenn jedes Element von ${\displaystyle M}$ durch die Operation auf irgendein beliebiges Element von ${\displaystyle M}$ abgebildet werden kann. Formal: ${\displaystyle \forall m,n\in M\exists g\in G:g\circ m=n.}$ Siehe zu weiteren möglichen Transitivitätseigenschaften einer Permutationsgruppe Gruppenoperation#Transitive Gruppenoperation.

Wortgleich, aber mit Bedeutungsunterschied!

In dem Begriff (links-)reguläre Darstellung und auch in dem auf Gruppen spezialisierten Sinn dieses Wortes, wie er im Artikel Satz von Cayley beschrieben ist, beschreibt regulär als Homonym eine Eigenschaft, die die hier beschriebene weder spezialisiert noch verallgemeinert! Die in Satz von Cayley beschriebene „spezielle reguläre Darstellung“, bei der die Gruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist tatsächlich – vielleicht eher zufällig – eine, aber im Allgemeinen nicht die einzige „reguläre Permutationsdarstellung“ der Gruppe. Dieser Spezialfall wird bei den Beispielen in diesem Artikel erläutert.

Endliche Symmetriegruppen

In der Geometrie treten viele Gruppen auf, die dadurch definiert sind, dass sie eine geometrische Figur als Ganzes auf sich abbilden. Zum Beispiel ist die Gruppe der Bewegungen des dreidimensionalen Anschauungsraums, die den Einheitswürfel (aufgespannt von den drei Standardbasisvektoren) als Ganzes auf sich abbilden, eine typische Symmetriegruppe.

• Die Symmetriegruppe eines (nichtentarteten) Polyeders im Anschauungsraum operiert als Permutationsgruppe auf der (endlichen!) Menge der Eckpunkte des Polyeders.
• Die Symmetriegruppe ${\displaystyle G}$ einer Kugel im Anschauungsraum operiert transitiv auf der Menge ${\displaystyle M}$ der Punkte auf der Kugeloberfläche, aber auf keiner Menge ${\displaystyle N\subseteq M}$ als Permutationsgruppe: Weil die Operation auf ${\displaystyle M}$ transitiv ist, lässt sie sich nicht für die ganze Symmetriegruppe ${\displaystyle G}$ auf eine endliche Punktmenge ${\displaystyle N}$ beschränken. Dagegen kann die Symmetriegruppe des Einheitswürfels als Untergruppe von ${\displaystyle G}$ aufgefasst werden, wenn man als Kugel die dem Würfel umbeschriebene Kugel wählt, also die Kugel durch alle Eckpunkte des Würfels.
• Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks in der reellen Ebene operiert als transitive Permutationsgruppe, aber nicht semiregulär auf der Menge der Eckpunkte des Dreiecks.
• Allgemeiner operiert die Symmetriegruppe ${\displaystyle G}$ eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks (${\displaystyle n\geq 3}$) in der Ebene als transitive, nicht semireguläre Permutationsgruppe auf der Menge ${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,n\}}$ der Eckpunkte des ${\displaystyle n}$-Ecks. Diese Beschreibung kann für ${\displaystyle n\geq 3}$ als Definition der Diedergruppe ${\displaystyle G=D_{n}}$ (als Untergruppe der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$) benutzt werden.
• Die Symmetriegruppe einer Strecke auf der reellen Geraden (also eines reellen Intervalls ${\displaystyle [a,b],a<b}$) operiert als reguläre Permutationsgruppe auf deren Randpunkten. Sie ist die zweielementige Gruppe ${\displaystyle \{e,s\}}$, wobei ${\displaystyle s}$ die Spiegelung der Geraden an der Intervallmitte ${\displaystyle (a+b)/2}$ ist.
• Dagegen operiert die Symmetriegruppe ${\displaystyle H}$ (im oben beschrieben Sinn) einer Strecke im dreidimensionalen Raum nicht treu und daher nicht als Permutationsgruppe auf den Randpunkten der Strecke. Diese Gruppe ist sogar unendlich – man beachte die Drehungen, bei denen die Strecke auf der Achse liegt! Wie in dem Beispiel eines linearen Unterraums in einem endlichen Vektorraum weiter oben muss man zu der Faktorgruppe ${\displaystyle H/U}$ nach der Untergruppe ${\displaystyle U}$ der Bewegungen, die jeden Punkt der Strecke auf sich abbilden, übergehen. Damit gelangt man wieder zu einer Gruppe, die zu der im vorigen Beispiel genannten Gruppe isomorph ist. Oft wird diese kanonische Faktorgruppe dann als die Symmetriegruppe (hier: der Strecke) bezeichnet.

Automorphismengruppen endlicher Strukturen

Die strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen endlicher Strukturen, zum Beispiel der endlichen Inzidenzstrukturen, der Blockpläne, der endlichen projektiven Ebenen usw., operieren als Permutationsgruppen auf der endlichen Menge ${\displaystyle M}$ der „Elemente“ der Struktur (für Inzidenzstrukturen ${\displaystyle M={\mathfrak {p}}\cup {\mathfrak {B}}}$, also der Menge der „Punkte“ zusammen mit der Menge der „Blöcke“). In den wichtigen Fällen, etwa für alle einfachen Blockpläne (also auch für alle „klassischen“ endlichen Geometrien), genügt es, als Menge die Punkt- oder die Blockmenge zu verwenden, da die Automorphismengruppen bereits auf wenigstens einer dieser Mengen treu operiert. Meist wird die Punktmenge verwendet. Die Gruppe aller strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen der Struktur ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ wird als volle Automorphismengruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathcal {I}})}$ der Struktur, jede ihrer Untergruppen als Automorphismengruppe bezeichnet. Nach Konstruktion operieren diese Gruppen als Permutationsgruppen auf der Menge der Strukturelemente, in den angesprochenen wichtigsten Fällen bereits auf der Punktmenge.

• Die endliche einfache Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PGL} (3,2)}$ operiert als Permutations- und volle Automorphismengruppe transitiv, aber nicht regulär auf der projektiven Fano-Ebene ${\displaystyle PG(2,2)}$, d. h. konkret auf der Menge ihrer sieben Punkte. Im Artikel Fano-Ebene ist die Struktur dieser Gruppe und die hier beschriebene treue Permutationsdarstellung als Untergruppe der alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{7}}$ ausführlich dargestellt.
• Die fünf sporadischen Mathieugruppen operieren als Permutations- und volle Automorphismengruppen auf jeweils einem ihnen zugeordneten Wittschen Blockplan – auch hier genügt die Punktmenge für die eindeutige Beschreibung.
• Ein etwas gekünsteltes Beispiel einer Inzidenzstruktur, bei der die volle Automorphismengruppe weder auf der Punkt- noch auf der Blockmenge allein als Permutationsgruppe operiert, ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ mit den Mengen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{p_{1},p_{2}\}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{1},B_{2}\}}$ und ${\displaystyle I=\emptyset }$. Hier ist die Automorphismengruppe das Erzeugnis ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} ({\mathcal {I}})=\langle (p_{1}p_{2}),(B_{1}B_{2})\rangle }$, also ist ${\displaystyle G}$ isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ${\displaystyle G\cong C_{2}\times C_{2}}$. Aber ${\displaystyle G}$ operiert weder auf der Punkt- noch auf der Blockmenge treu! Die gleichen Aussagen gelten, wenn man für diese Punkt- und Blockmenge die Inzidenz statt durch ${\displaystyle I=\emptyset }$ durch ${\displaystyle I'={\mathfrak {p}}\times {\mathfrak {B}}}$ definiert.

Zu einer Permutationsgruppe assoziierte lineare Darstellung

Sei ${\displaystyle M}$ eine endliche Menge, auf der die Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert. Die Gruppe ${\displaystyle S(M)}$ ist dann die Gruppe aller Permutationen von ${\displaystyle M}$ mit der Komposition als Verknüpfung.
Die Operation einer Gruppe auf einer endlichen Menge wird manchmal bereits als ausreichend für die Definition der Permutationsdarstellung betrachtet. Da wir aber Beispiele für lineare Darstellungen geben wollen, bei denen die Gruppe auf einem Vektorraum und nicht auf einer beliebigen endlichen Menge operiert, wählen wir den folgenden Ansatz:
Wir konstruieren die zu ${\displaystyle M}$ assoziierte Permutationsdarstellung als Darstellung von ${\displaystyle G}$ in einem Vektorraum ${\displaystyle V}$, dessen Basis mit den Elementen aus ${\displaystyle M}$ indiziert werden kann und die die Eigenschaft ${\displaystyle \rho (g)e_{m}=e_{g\circ m}}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ und ${\displaystyle m\in M}$ erfüllt. Dadurch sind die linearen Abbildungen ${\displaystyle \rho (g)}$ eindeutig festgelegt.

Beispiel

Seien ${\displaystyle M=\{1,2,3\}}$ und ${\displaystyle G=S_{3}}$. Dann operiert ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$ via ${\displaystyle S(M)=G}$.
Die zugehörige lineare Darstellung ist ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)\cong \operatorname {GL} _{3}(\mathbb {C} )}$, wobei ${\displaystyle \rho (\sigma )e_{m}=e_{\sigma (m)}}$ für ${\displaystyle \sigma \in G}$ und ${\displaystyle m\in M}$.

Links- und rechtsreguläre Darstellung

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe mit ${\displaystyle \operatorname {ord} (G)=n}$ und sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n}$, dessen Basis ${\displaystyle (e_{g})_{g\in G}}$ mit den Elementen aus ${\displaystyle G}$ indiziert werde. Die linksreguläre Darstellung ist dann ein Sonderfall der Permutationsdarstellung, in welchem wir ${\displaystyle M=G}$ setzen. Es gilt also ${\displaystyle \rho (g)e_{h}=e_{gh}}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G}$. Damit bildet die Familie ${\displaystyle (\rho (g)e_{1})_{g\in G}}$ der Bilder von ${\displaystyle e_{1}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$, wobei wir hier das neutrale Element der Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle 1}$ bezeichnet haben. Der Grad der linksregulären Darstellung entspricht der Gruppenordnung.
Die rechtsreguläre Darstellung wird ähnlich definiert: In diesem Fall operiert ${\displaystyle G}$ von rechts auf der mit Elementen aus ${\displaystyle G}$ indizierten Basis von ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle \rho (g)e_{h}=e_{hg^{-1}}}$. Auch hier bilden die Bilder des ersten Basisvektors unter der Operation eine Basis des Vektorraums und der Grad entspricht der Gruppenordnung.
Die beiden Darstellungen sind via ${\displaystyle e_{g}\mapsto e_{g^{-1}}}$ isomorph zueinander. Daher spricht man hier häufig auch nur von der regulären Darstellung.
Eine nähere Betrachtung ergibt, dass jede lineare Darstellung ${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)}$ mit der Eigenschaft, dass es ein ${\displaystyle v\in V}$ gibt, sodass ${\displaystyle (\rho (g)v)_{g\in G}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ ist, isomorph zur linksregulären Darstellung ist.

Beispiel

Seien ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{5}}$ mit Basis ${\displaystyle e_{\overline {0}},\dotsc ,e_{\overline {4}}}$. Die linksreguläre Darstellung ${\displaystyle L_{\rho }\colon G\to \operatorname {GL} (V)}$ ist dann definiert durch ${\displaystyle L_{\rho }(k)e_{l}=e_{k+l}}$ für ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$.
Die rechtsreguläre Darstellung erhält man analog durch ${\displaystyle R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}}$ für ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$.