Visualisierung, Definition als Hypergraph

Die Fano-Ebene lässt sich durch die Zeichnung eines gleichseitigen Dreiecks mit Höhen und Inkreis visualisieren (erste Abbildung oben) und definieren. Die 7 Elemente von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, die Punkte, sind die drei Eckpunkte, die drei Höhenfußpunkte und der Mittelpunkt des Inkreises. Die 7 Elemente von ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, die Geraden, sind dann die Dreieckseiten, die Höhen und der Inkreis. Aus dem Satz von Sylvester-Gallai folgt, dass es keine Darstellung gibt, bei der alle Geraden tatsächlich Geraden der euklidischen Ebene sind. Dieses Bild kann – im Sinne der Graphentheorie – als ein Hypergraph mit Knoten (den Punkten) und Kanten (den Strecken und dem Inkreis) und damit als Modell der Fano-Ebene angesehen werden.

Konkrete, aufzählende Definition als Inzidenzstruktur

Die folgende (symmetrische) Inzidenzstruktur ${\displaystyle L=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ wird als Fano-Ebene bezeichnet:

Punktmenge: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{001,010,011,100,101,110,111\}}$ oder ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{1,2,3,4,5,6,7\}}$

Geradenmenge: ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\left\{{\begin{matrix}\{001,010,011\},&\{001,100,101\},\\\{001,110,111\},&\{010,101,111\},\\\{010,100,110\},&\{011,100,111\},\\\{011,101,110\}\end{matrix}}\right\}}$ oder

${\displaystyle \quad {\mathfrak {G}}=\left\{\{1,2,3\},\{1,4,5\},\{1,6,7\},\{2,5,7\},\{2,4,6\},\{3,4,7\},\{3,5,6\},\right\}}$

Inzidenzrelation ${\displaystyle {\text{I}}}$: Für ${\displaystyle P\in {\mathfrak {P}},g\in {\mathfrak {G}}}$ gilt ${\displaystyle P\,{\text{I}}\,g\Leftrightarrow P\in g\quad }$ und ${\displaystyle \quad g\,{\text{I}}\,P\Leftrightarrow P\in g}$

In dieser konkreten Definition durch Aufzählung können die 7 „binären“ Punktsymbole (vergleiche die Abbildung rechts: ${\displaystyle 001,010,}$ usw.) einfach als eigenwillige Symbole für 7 verschiedene Punkte genommen werden. Tatsächlich stehen sie abkürzend für Koordinatentripel, wie weiter unten erläutert wird. Die zweite, kompaktere Darstellung der Punkte- und Geradenmenge entsteht jeweils durch die Interpretation dieser Punktsymbole als Zahlen im Dualsystem und deren Umrechnung ins Dezimalsystem.

Definition als projektiver Raum

Gleichwertig lässt sich die Fano-Ebene mit der Sprache der linearen Algebra definieren als der zweidimensionale projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})}$ über dem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ mit zwei Elementen. Dieser Körper wiederum kann durch den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {F} _{2}}$ modelliert werden.

Äquivalenz der Definitionen

Die Fano-Ebene ist im Sinne der synthetischen Geometrie eine endliche projektive Ebene der Ordnung 2 mit 7 Geraden und 7 Punkten, ihre symbolische Abkürzung lautet ${\displaystyle PG(2,2)}$. Bei der axiomatischen Beschreibung projektiver Ebenen ergibt sich dies, indem man direkt anhand der konkret definierten Inzidenzstruktur die Gültigkeit der Axiome überprüft.

Bei der Definition als zweidimensionaler projektiver Raum über dem Körper ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}$ betrachtet man den Vektorraum ${\displaystyle K^{3}}$, dessen eindimensionalen Unterräume sind dann die Punkte der projektiven Ebene, seine zweidimensionalen Unterräume die Geraden und die Inzidenzrelation ist die mengentheoretische Teilmengenrelation „${\displaystyle \subset }$“. Somit erhält man (formal)

• als Punktmenge: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\left\{\langle x\rangle$ :\;x\in K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\right\}} und
• als Geradenmenge: ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\left\{\langle x,y\rangle$ :\;x,y\in K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\land x\neq y\right\}} .

Dabei stehen die Symbole ${\displaystyle \langle x\rangle ,\;\langle x,y\rangle }$ für die von dem Vektor ${\displaystyle x}$ bzw. den Vektoren ${\displaystyle x,y}$ erzeugten linearen Unterräume des ${\displaystyle K^{3}}$. Die Bedingung ${\displaystyle x\neq y}$ in der Definition der Geradenmenge ist für diesen Vektorraum gleichwertig zur linearen Unabhängigkeit der zwei Vektoren, solange der Nullvektor ausgeschlossen wird.

Entartungen

Durch ihre Kleinheit weist die Fano-Ebene einige Besonderheiten auf:

• Sie erfüllt den Satz von Pappos sozusagen „leer“: Da es keine nichtentarteten Sechsecke der Art, wie sie die Pappos-Konfiguration erfordert, gibt, fallen (mindestens) zwei der sechs Ecken zusammen. Dann fallen aber auch mindestens zwei „Schnittpunkte von Gegenseiten“ zusammen und die Aussage des Satzes, dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen, wird trivial.
• Da eine nicht entartete Desargues-Konfiguration zehn verschiedene Punkte erfordert, wird auch der Satz von Desargues letztendlich trivial erfüllt.
• Sie ist die einzige projektive Ebene über einem Schiefkörper, in der jede projektive Perspektivität mit einem Zentrum außerhalb einer Achse ${\displaystyle a}$ zwingend die Identität ist. Durch die Vorgaben sind die „freien“ Punktmengen auf den Geraden durch das Zentrum einpunktig (mindestens ein Punkt jeder dieser Geraden liegt auf ${\displaystyle a}$, ein weiterer ist das Zentrum). Also wird auch die Transitivitätsforderung an Ebenen der Lenz-Barlotti-Klasse VII.2 leer erfüllt. Dieser Klasse VII.2 gehört die Fano-Ebene also wie jede andere desarguessche Ebene an.
• Das Doppelverhältnis ist entartet, da es auf keiner Geraden vier verschiedene Punkte gibt.
• Die Fano-Ebene ist die einzige projektive Ebene, in der der Einheitspunkt zur Definition einer projektiven Punktbasis eigentlich überflüssig ist: Im Vektorraummodell enthält jeder eindimensionale Raum neben dem Nullvektor nur einen weiteren Punkt, das heißt, die indirekte Zuordnung „Basisvektor → eindimensionaler Unterraum ↔ projektiver Punkt“ ist hier auch zum Basisvektor hin umkehrbar, ohne dass ein Einheitspunkt zu Hilfe genommen werden muss; dies gilt ganz genau so für die projektiven Räume ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K)}$ beliebiger Dimension ${\displaystyle n\geq 1}$, wenn, aber auch nur dann, wenn der Körper ${\displaystyle K}$ genau zwei Elemente hat. Bei der Wahl der Punktbasis in der Ebene zeigt sich diese Besonderheit so: Hat man für die Punktbasis drei nicht kollineare Punkte ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3}\in {\mathfrak {P}}}$ gewählt – für diese Wahl gibt es bei Berücksichtigung der Reihenfolge immerhin ${\displaystyle 7\cdot 6\cdot 4=168}$ Möglichkeiten – dann gibt es stets genau noch einen Punkt in der Ebene, der nicht zu zwei der gewählten Punkte kollinear ist!
• In der Automorphismengruppe von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K)}$ drückt sich die zuletzt genannte Besonderheit dadurch aus, dass aus der für beliebige Körper gültigen Isomorphieaussage ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n+1,K)\cong \operatorname {GL} (n+1,K)/K^{\ast }}$ die Aussage ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n+1,K)\cong \operatorname {GL} (n+1,K)}$ folgt, denn die multiplikative Gruppe ${\displaystyle K^{\ast }}$ ist für den zweielementigen Körper die Einsgruppe.

Geradenkoordinaten und Dualität

Im Vektorraummodell lässt sich jede Gerade, also jeder zweidimensionale Unterraum des ${\displaystyle K^{3}}$ durch eine homogene Geradengleichung ${\displaystyle a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+a_{3}\cdot x_{3}=0,(a_{1},a_{2},a_{3})\in K^{3}\setminus \{(0,0,0)\}}$ beschreiben. Der Koordinatenvektor der Geraden (Geradenkoordinaten) ist also ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$. Einem Punkt mit den projektiven Punktkoordinaten ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$ wird die Gerade mit den homogenen Geradenkoordinaten ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$ zugeordnet und umgekehrt. Die Abbildung rechts zeigt die Zuordnungen für die in diesem Artikel getroffene Wahl der Punktbasis: Die Punkte unten im Bild werden durch diese Korrelation den Geraden, die direkt über ihnen stehen, zugeordnet, die Geraden dem direkt unter ihnen stehenden Punkt. Zum Beispiel wird der 3. Basispunkt 001, der rechte untere Eckpunkt des Dreiecks, der Geraden mit der Gleichung ${\displaystyle x_{3}=0}$ (der linken Dreieckseite) zugeordnet ${\displaystyle \left(001^{d}=\langle 010,100\rangle \right)}$, die Höhe durch die obere Spitze mit der Gleichung ${\displaystyle x_{1}+x_{3}=0}$ ihrem Höhenfußpunkt 101.

Im Bild rechts stellen die Strecken in der Mitte zwischen den rot hervorgehobenen Geraden und Punkten die Inzidenzrelation dar, die durch die Dualisierung umgekehrt wird: ${\displaystyle P{\text{I}}g\Leftrightarrow g^{d}{\text{I}}P^{d}}$, bzw. mengentheoretisch ${\displaystyle P\in g\Leftrightarrow g^{d}\in P^{d}}$, im Vektorraummodell ${\displaystyle P<g\Leftrightarrow g^{d}<P^{d}}$, wobei das Kleinerzeichen für „ist linearer Teilraum von“ steht.

2-Gruppen und Perspektivitäten

• Zu jeder der 7 Geraden ${\displaystyle a}$ existiert eine Gruppe von ebenen Perspektivitäten ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ mit ${\displaystyle a}$ als Achse. Hat eine ${\displaystyle a}$-Perspektivität einen weiteren Fixpunkt außerhalb der Achse, dann ist sie die Identität, da jede Gerade nur drei Punkte hat. Daher haben alle nichtidentischen Perspektivitäten ihr Zentrum ${\displaystyle Z}$ auf der Achse und vertauschen die beiden Punkte, die außer ${\displaystyle Z}$ jeweils auf den beiden von der Achse ${\displaystyle a}$ verschiedenen Geraden durch ${\displaystyle Z}$ liegen:
  • Die Gruppe der Perspektivitäten mit Achse ${\displaystyle a=\{1,2,3\}}$ und Zentrum ${\displaystyle Z=1}$ ist ${\displaystyle \Gamma _{(Z,a)}=\{\operatorname {id} ,(4,5)(6,7)\}}$, eine zyklische Gruppe mit zwei Elementen vom Isomorphietyp ${\displaystyle C_{2}}$.
• Alle ${\displaystyle 7\cdot 3=21}$ Perspektivitätengruppen ${\displaystyle \Gamma _{(Z,a)}}$ mit fester Achse ${\displaystyle a}$ (7 Geraden) und festem Zentrum ${\displaystyle Z\in a}$ (je 3 Punkte) sind isomorph zu der im Beispiel genannten und also zu ${\displaystyle C_{2}}$. Diese Gruppen sind in ${\displaystyle \Gamma }$ zueinander konjugiert, die Menge dieser zweielementigen Gruppen ist zu sich selbst dual. Die 21 nichttrivialen Elemente dieser Gruppen erzeugen die ${\displaystyle \operatorname {PGL} (3,2)}$, denn sie bilden gerade die Menge aller nichtidentischen Perspektivitäten. Daher ist diese Automorphismengruppe eine Untergruppe der alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{7}}$ und zählt zu den Coxeter-Gruppen, da sie von Elementen der Ordnung 2 („Spiegelungen“) erzeugt wird.
• Jede Projektivität in ${\displaystyle \Gamma \subset A_{7}}$ der Ordnung 2 hat eine Permutationsdarstellung ${\displaystyle (k_{1},k_{2})(k_{3},k_{4})}$ als Element der ${\displaystyle A_{7}}$, wobei die vier verschiedenen Zahlen ${\displaystyle k_{j}}$ für die Punkte eines vollständigen Vierecks stehen. Daher ist jede solche Projektivität der Ordnung 2 die nichttriviale Perspektivität mit Achse ${\displaystyle a={\mathfrak {P}}\setminus \{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\}}$ und Zentrum ${\displaystyle Z\in k_{1}k_{2}\cap k_{3}k_{4}}$ und alle diese Perspektivitäten sind zueinander konjugiert.
• Die Gruppe der Perspektivitäten mit Achse ${\displaystyle a=\{1,2,3\}}$ ist ${\displaystyle \Gamma _{a}=\Gamma _{(1,a)}\cup \Gamma _{(2,a)}\cup \Gamma _{(3,a)}}$ also ${\displaystyle \Gamma _{a}=\{\operatorname {id} ,(4,5)(6,7),(4,6)(5,7),(4,7)(5,6)\}}$ diese vierelementige Gruppe ist isomorph zur kleinschen Vierergruppe ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$, einer elementar abelschen 2-Gruppe.
• Alle 7 Perspektivitätenuntergruppen ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ mit fester Achse ${\displaystyle a}$ sind konjugiert zu ${\displaystyle \Gamma _{\{1,2,3\}}}$ und also isomorph zu ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$. Eine solche Gruppe ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ stellt zugleich in der längs ${\displaystyle a}$ geschlitzten Ebene, dem Minimalmodell einer affinen Ebene, die Dilatationsgruppe und in diesem Fall zugleich die Translationsgruppe dar. Dies zeigt auch ohne Nachrechnen mit den Permutationen, dass ${\displaystyle (\Gamma _{a},\circ )\cong ((\mathbb {Z} /2Z)^{2},+)}$ gelten muss.
• Die genannten Perspektivitätenuntergruppen ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ mit fester Achse ${\displaystyle a}$ sind dual, aber nicht konjugiert zu 7 verschiedenen Perspektivitätenuntergruppen ${\displaystyle \Gamma _{Z}}$ mit festem Zentrum ${\displaystyle Z}$. Jede solche Gruppe ist also ebenfalls zur ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$ isomorph, jede Gerade durch ${\displaystyle Z}$ ist eine Fixgerade der Gruppe. Ein Beispiel ist ${\displaystyle \Gamma _{1}=\Gamma _{(1,\{1,2,3\})}\cup \Gamma _{(1,\{1,4,5\})}\cup \Gamma _{(1,\{1,6,7\})}}$, also ${\displaystyle \Gamma _{1}=\{\operatorname {id} ,(4,5)(6,7),(2,3)(6,7),(2,3)(4,5)\}}$.
• Das Erzeugnis ${\displaystyle \Gamma _{Z}\lor \Gamma _{a}}$ ist für ${\displaystyle Z\in a}$ eine 2-Sylow-Untergruppe von ${\displaystyle \Gamma }$ mit 8 Elementen. Alle 21 2-Sylow-Untergruppen von ${\displaystyle \Gamma }$ sind zueinander konjugiert, isomorph zu der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$. Ein Beispiel ist die Untergruppe ${\displaystyle \Gamma _{1}\lor \Gamma _{\{1,2,3\}}=\langle (2,3)(4,7,5,6),(4,7)(5,6)\rangle }$, einer ihrer hier genannten Erzeuger ist rechts graphisch dargestellt.
• Alle 42 Elemente der Ordnung 4 in ${\displaystyle \Gamma }$ sind konjugiert zu ${\displaystyle g_{4}=(2,3)(4,7,5,6)}$, dem in der Abbildung rechts dargestellten Erzeuger von ${\displaystyle \Gamma _{1}\lor \Gamma _{\{1,2,3\}}}$. Sie sind also keine Perspektivitäten, bestehen alle aus einem 4-Zyklus ${\displaystyle z_{4}\in S_{7}\setminus \Gamma }$, der vier Punkte in allgemeiner Lage zyklisch vertauscht und einer Transposition von 2 der drei übrigen Punkte, die auf einer Geraden ${\displaystyle a}$ liegen. Die Transposition ist dadurch bestimmt, dass sie das Zentrum der Perspektivität ${\displaystyle {z_{4}}^{2}}$ fix lässt. In unserem Beispiel ist 1 das Zentrum von ${\displaystyle {z_{4}}^{2}={g_{4}}^{2}=(4,5)(6,7)}$ und also auch der Fixpunkt von ${\displaystyle g_{4}}$.

3-Gruppen und die Affinitätengruppe

• Sind ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},Z_{3}}$ die Punkte auf einer Geraden, so erzeugen zwei der Perspektivitätsgruppen ${\displaystyle \Gamma _{Z_{j}}}$ zusammen eine Untergruppe ${\displaystyle \Gamma (Z_{1},Z_{2},Z_{3})}$ von ${\displaystyle \Gamma }$ mit 24 Elementen. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)=\Gamma _{1}\lor \Gamma _{2}=\Gamma _{1}\lor \Gamma _{3},}$ als Erzeugnis von Perspektivitäten ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)=\langle (2,3)(6,7),(4,6)(5,7),(1,3)(4,6)\rangle ,}$ das Produkt dieser drei Erzeugenden ist das Element ${\displaystyle g_{3}=(1,2,3)(5,6,7)}$, ein Element der Ordnung 3. Dieses Element ist bereits in ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)}$ zu seinem inversen ${\displaystyle {g_{3}}^{-1}}$ konjugiert, daher enthält ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)}$ eine zur Diedergruppe ${\displaystyle D_{3}}$ isomorphe Untergruppe. Als Untergruppe mit 24 Elementen enthält ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)}$ drei der 2-Sylowgruppen der Kollineationsgruppe mit 8 Elementen: ${\displaystyle \Gamma _{k}\lor \Gamma _{\{1,2,3\}}<\Gamma (1,2,3)}$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}.}$
• Die Gruppe ${\displaystyle \Gamma (1,2,3)}$ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{4}}$, denn sie bildet die Gerade ${\displaystyle a=\{1,2,3\}}$ als Fixgerade auf sich ab und operiert daher treu auf der längs ${\displaystyle a}$ geschlitzten Ebene als Gruppe von Affinitäten. Die volle Affinitätengruppe der affinen Ebene mit 4 Punkten ist aber gerade die ${\displaystyle S_{4}}$.
• Alle 56 Elemente der Ordnung 3 sind zueinander konjugiert und zu ${\displaystyle g_{3}}$, sie haben also immer die Form eines Produktes aus zwei disjunkten 3-Zyklen, wobei der eine Zyklus kollineare Punkte enthält, der andere 3 der vier nicht kollinearen Punkte außerhalb der durch den ersten Zyklus bestimmten Geraden.
• Jede der 28 3-Sylowgruppen der Gruppenordnung 3 wird von einem der genannten Elemente der Ordnung 3 erzeugt.

7-Gruppen und kleine Erzeugendensysteme

• In ${\displaystyle \Gamma }$ existieren genau 48 Projektivitäten der Ordnung 7, die jeweils als ein 7-Zyklus darstellbar sind.
• Jedes dieser Gruppenelemente erzeugt eine 7-Sylowgruppe von ${\displaystyle \Gamma }$ vom Isomorphietyp ${\displaystyle C_{7}}$, die insgesamt 6 7-Zykeln enthält. Zwei verschiedene dieser 7-Sylowgruppen schneiden sich in der trivialen Gruppe, daher existieren genau 8 Untergruppen dieses Typs.
• Die Menge der 7-Zykeln zerfällt in ${\displaystyle \Gamma }$ in zwei Konjugationsklassen mit je 24 Elementen.
• Jeder 7-Zyklus ${\displaystyle c}$ ist durch beliebige vier Punkte ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$, die er in dieser Reihenfolge aufeinander abbildet ${\displaystyle \left(c(A_{1})=A_{2},c(A_{2})=A_{3},c(A_{3})=A_{4}\right)}$ vollständig bestimmt, wobei ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ nicht kollinear sind und ${\displaystyle A_{4}}$ stets

1. entweder auf der Verbindungsgerade ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ (erste Konjugationsklasse)
2. oder auf der Verbindungsgerade ${\displaystyle A_{1}A_{3}}$ (zweite Konjugationsklasse) liegt.

• Ist ${\displaystyle c}$ ein Element der Ordnung 7 (7-Zyklus), dann ist ${\displaystyle c^{n}}$ genau dann konjugiert zu ${\displaystyle c}$, wenn ${\displaystyle n}$ ein Quadratischer Rest modulo 7 ist, das heißt, ${\displaystyle c^{1},c^{2},c^{4}}$ liegen in der gleichen Konjugationsklasse wie ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle c^{3},c^{5},c^{6}}$ in der anderen.
• Die von einem 7-Zyklus erzeugte zyklische Kollineationsgruppe ist ein Singer-Zyklus, daher existiert für jeden 7-Zyklus eine Bijektion („Umnummerierung“) ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\rightarrow \{0,1,2,3,4,5,6\}}$ der Punktmenge, nach der die umnummerierte Fano-Ebene von der Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}=\{1,2,4\}}$ abstammt.
• Sind ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ zwei Projektivitäten der Ordnung 7, dann gilt nach den Sylowsätzen und da ${\displaystyle \Gamma }$ einfach ist: ${\displaystyle \langle c_{1},c_{2}\rangle =\langle c_{1}\rangle }$ oder ${\displaystyle \langle c_{1},c_{2}\rangle =\Gamma }$. Das heißt, die Automorphismengruppe wird von zwei geeignet gewählten 7-Zykeln erzeugt, zum Beispiel: ${\displaystyle \Gamma =\langle c_{1},c_{2}\rangle }$ mit ${\displaystyle c_{1}=(1,4,6,5,2,3,7),c_{2}=(1,4,2,5,6,7,3).}$

• Jeder 7-Zyklus ist als Komposition von genau drei verschiedenen, nichtidentischen Perspektivitäten darstellbar. Für die beiden Zyklen ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ aus der vorigen Aussage ist ${\displaystyle c_{1}=t_{1}\cdot t_{2}\cdot t_{3}}$ bzw. ${\displaystyle c_{2}=t_{1}\cdot t_{3}\cdot t_{2}}$ mit den Perspektivitäten ${\displaystyle t_{1}=(1,4)(2,7),\,t_{2}=(1,2)(5,6),\,t_{3}=(2,6)(3,7)}$.
• Daraus folgt: ${\displaystyle \Gamma =\langle t_{1},\,t_{2},\,t_{3}\rangle }$ als Erzeugnis von drei Perspektivitäten und ${\displaystyle \Gamma =\langle t_{1},\,t_{2}\cdot t_{3}\rangle }$ als Erzeugnis einer Perspektivität und einer Projektivität der Ordnung 4.

Allgemein

• Peter Dembowski: Finite geometries. Reprint of the 1968 Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/Singapore/Tokyo/New York/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Milan/Paris/Santa Clara 1997, ISBN 3-540-61786-8. 
• Jacobus Hendricus van Lint, Richard M. Wilson: A Course in Combinatorics. Nachdruck der 2. Auflage. Cambridge Univ. Press, Cambridge u. a. 2004, ISBN 0-521-00601-5, S. 225, 237–239 (Auszug in der Google-Buchsuche). 
• T. Pisanski, M. Randić: Bridges between Geometry and Graph Theory. In: C. A. Gorini (Hrsg.): Geometry at Work. A Collection of Papers Showing Applications of Geometry. Math. Assoc. Amer., Washington, DC 2000, S. 174–194. 

Anwendungen der Fano-Ebene auf mathematische Rätsel

• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. 1. Auflage. Penguin, London 1986, ISBN 0-14-008029-5 (englisch, Recreational mathematics, elementary number theory). 

Zu den gruppentheoretischen Aussagen

• Thomas W. Hungerford: Algebra. korrigierte 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2003, ISBN 0-387-90518-9, Kapitel I Groups, 5–7. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. 9. Auflage. Band 1. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 3-540-56799-2.