Reflexive Räume

Ist ${\displaystyle X}$ reflexiv, so ist ${\displaystyle X=X''}$ und es ist ${\displaystyle \textstyle \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \in X}$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ und jede schwach-integrierbare Funktion ${\displaystyle f}$. Das heißt, dass jede schwach-integrierbare Funktion mit Werten in einem reflexiven Raum Pettis-integrierbar ist.

Birkhoff-Integral

Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$ ist Pettis-integrierbar und das Birkhoff-Integral stimmt mit dem Pettis-Integral überein. Daher ist das Pettis-Integral eine Verallgemeinerung des Birkhoff-Integrals.

Bochner-Integral

Jede Bochner-integrierbare Funktion ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$ ist Pettis-integrierbar und das Bochner-Integral stimmt mit dem Pettis-Integral überein. Deshalb ist das Pettis-Integral auch eine Verallgemeinerung des Bochner-Integrals. Es gilt

Bochner-integrierbar   ${\displaystyle \Rightarrow }$   Birkhoff-integrierbar   ${\displaystyle \Rightarrow }$   Pettis-integrierbar   ${\displaystyle \Rightarrow }$   schwach-integrierbar.

Pettis-integrierbar aber nicht Bochner-integrierbar

Als Maßraum betrachten wir das Einheitsintervall [0,1] mit dem Lebesgue-Maß ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ auf der σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen und als Banachraum den Folgenraum ${\displaystyle X=c_{0}}$ der reellen Nullfolgen. Es sei ${\displaystyle I_{n}}$ das halboffene Intervall ${\displaystyle \textstyle ({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}]\subset [0,1]}$ und

${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow c_{0},\,f(t):=(n\chi _{I_{n}}(t))_{n\in \mathbb {N} }}$.

Jedes ${\displaystyle f(t)}$ ist tatsächlich eine Nullfolge. Das ist klar für ${\displaystyle t=0}$, denn es ist ${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )}$ und für ${\displaystyle t>0}$ gibt es genau ein ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle t\in I_{n}}$ und daher ist ${\displaystyle f(t)=(0,0,\ldots ,n,0,0,\ldots )}$. Diese Funktion ist Pettis-integrierbar aber nicht Bochner-integrierbar. Zur Verdeutlichung obiger Konstruktionen führen wir die erforderlichen Rechnungen aus und beginnen mit der schwachen Integrierbarkeit.

Für jedes ${\displaystyle \varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'}$ ist nach Definition der Dualität ${\displaystyle c_{0}'=\ell ^{1}}$

${\displaystyle (\varphi \circ f)(t)=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\chi _{I_{n}}(t)}$

und daher

${\displaystyle \int _{[0,1]}|(\varphi \circ f)(t)|\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n\int _{[0,1]}\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot {\frac {1}{n+1}}<\infty }$,

denn das Intervall ${\displaystyle I_{n}}$ hat die Länge ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n(n+1)}}}$. Also ist ${\displaystyle f}$ schwach-integrierbar.

Zur Bestimmung der Gelfand-Integrale betrachte ${\displaystyle g\in L^{\infty }([0,1])}$. Bezeichnen wir die L¹-L^∞-Dualität mit spitzen Klammern, so ist für ${\displaystyle \varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'}$

${\displaystyle \langle T_{f}(g),\varphi \rangle =\langle g,S_{f}(\varphi )\rangle =\langle g,\varphi \circ f\rangle =\int _{[0,1]}g(t)(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t=\int _{[0,1]}g(t)\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\int _{[0,1]}g(t)\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n\int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t=\langle \left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in \mathbb {N} },(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\langle \left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in \mathbb {N} },\varphi \rangle }$

und man liest ab

${\displaystyle T_{f}(g)=\left(n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right)_{n\in N}\in \ell ^{\infty }=c_{0}''}$.

Tatsächlich liegt diese Folge aber bereits in ${\displaystyle c_{0}}$, denn

${\displaystyle \left|n\cdot \int _{I_{n}}g(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \|g\|_{\infty }n\cdot \int _{I_{n}}\mathrm {d} t=\|g\|_{\infty }\cdot {\frac {1}{n+1}}\rightarrow 0}$.

Daher ist ${\displaystyle f}$ Pettis-integrierbar. ${\displaystyle f}$ ist aber nicht Bochner-integrierbar, denn

${\displaystyle t\mapsto \|f(t)\|=\|(n\chi _{I_{n}}(t)\|=\sum _{n=1}^{\infty }n\chi _{I_{n}}(t)}$

ist nicht integrierbar.

Schwach-integrierbar aber nicht Pettis-integrierbar

Zur Konstruktion einer schwach-integrierbaren Funktion, die nicht Pettis-integrierbar ist, wandeln wir obiges Beispiel leicht ab. Wieder betrachten wir den Maßraum [0,1] mit dem Lebesgue-Maß und den Banachraum ${\displaystyle c_{0}}$. Die gesuchte Funktion ist

${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow c_{0},\,f(t):=(n(n+1)\chi _{I_{n}}(t))_{n\in \mathbb {N} }}$.

Für jedes ${\displaystyle \varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'}$ ist

${\displaystyle (\varphi \circ f)(t)=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\chi _{I_{n}}(t)}$

und daher

${\displaystyle \int _{[0,1]}|(\varphi \circ f)(t)|\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n(n+1)\int _{[0,1]}\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|\cdot n(n+1){\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }|v_{n}|<\infty }$.

Also ist ${\displaystyle f}$ schwach-integrierbar.

Ist ${\displaystyle e\in L^{\infty }([0,1])}$ die konstante Funktion mit Wert 1, so ist für jedes ${\displaystyle \varphi =(v_{n})_{n}\in \ell ^{1}=c_{0}'}$

${\displaystyle \langle T_{f}(e),\varphi \rangle =\langle e,S_{f}(\varphi )\rangle =\langle e,\varphi \circ f\rangle =\int _{[0,1]}e(t)(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t=\int _{[0,1]}(\varphi \circ f)(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{[0,1]}\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\chi _{I_{n}}(t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\cdot n(n+1)\int _{I_{n}}\,\mathrm {d} t=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=\langle (1,1,1,\ldots ),\varphi \rangle }$.

Also ist ${\displaystyle \int _{[0,1]}f(t)\,\mathrm {d} t=T_{f}(e)=(1,1,1,\ldots )\in \ell ^{\infty }=c_{0}''}$ und das ist nicht aus ${\displaystyle c_{0}}$. Daher ist ${\displaystyle f}$ nicht Pettis-integrierbar.

Schwache Kompaktheit

Ist mit obigen Bezeichnungen ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$ Pettis-integrierbar, so ist der zugehörige Operator ${\displaystyle T_{f}:L^{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow X}$ schwach-kompakt.

Operatoren

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein endlicher, vollständiger Maßraum, ${\displaystyle X}$ eine Banachraum und ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$ Pettis-integrierbar. Ist ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist auch ${\displaystyle A\circ f:\Omega \rightarrow Y}$ Pettis-integrierbar und es gilt

${\displaystyle \int _{E}A\circ f\,\mathrm {d} \mu =A\left(\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right)}$ für jede messbare Menge ${\displaystyle E\subset \Omega }$.

Vektorraum der Pettis-integrierbaren Funktionen

Leicht zeigt man, dass Summen und skalare Vielfache Pettis-integrierbarer Funktionen wieder Pettis-integrierbar sind und dass sich das Integral linear verhält, das heißt

${\displaystyle \int _{\Omega }(\alpha f+g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu }$

für Pettis-integrierbare Funktionen ${\displaystyle f,g:\Omega \rightarrow X}$ und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.

Die messbaren, Pettis-integrierbaren Funktionen ${\displaystyle \Omega \rightarrow X}$ bilden daher einen Vektorraum ${\displaystyle P_{(1)}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$. Die Menge der Funktionen, die μ-fast-überall den Wert ${\displaystyle 0\in X}$ annehmen, bilden einen Untervektorraum, und den Quotientenraum nach diesem Unterraum bezeichnet man mit ${\displaystyle P_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$. In der maßtheoretisch üblichen Sichtweise ist das der Raum der messbaren, Pettis-integrierbaren Funktionen, wobei μ-fast-überall gleiche Funktionen identifiziert werden.

Die 1-Norm für Pettis-integrierbare Funktionen

Ist mit obigen Bezeichnungen ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow X}$ messbar und Pettis-integrierbar, so ist

${\displaystyle |f|_{1}:=\sup \left\{\int _{\Omega }|\varphi \circ f|\,\mathrm {d} \mu$ ;\,\varphi \in X',\|\varphi \|\leq 1\right\}=\sup\{T_{f}(g);\,g\in L^{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ),\|g\|_{\infty }\leq 1\}}

endlich. ${\displaystyle |\cdot |_{1}}$ ist eine Halbnorm auf ${\displaystyle P_{(1)}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$ und eine Norm auf ${\displaystyle P_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$. Dieser normierte Raum ist in der Regel nicht vollständig, die Vervollständigung sei ${\displaystyle {\overline {P_{1}}}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$.

Injektives Tensorprodukt

Es seien wieder ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein endlicher, vollständiger Maßraum und ${\displaystyle X}$ ein Banachraum. Dann ist

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\times X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X),\,(f,x)\mapsto f(\cdot )x}$

eine bilineare Abbildung, und es gilt

${\displaystyle \int _{\Omega }f(\cdot )x\,\mathrm {d} \mu =\left(\int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \right)x\in X}$.

Diese bilineare Abbildung definiert eine lineare Abbildung auf dem Tensorprodukt

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\otimes X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$.

Vervollständigt man dieses Tensorprodukt zum injektiven Tensorprodukt, so erhält man einen isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ){\hat {\otimes }}_{\varepsilon }X\rightarrow {\overline {P_{1}}}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,X)}$.