Leuchtdichte

Name

Leuchtdichte

$L_{\mathrm {v} }$

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	cd·m⁻²	L⁻²·J

Die Leuchtdichte L_v (englisch luminance) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit des von einer Lichtquelle abgegebenen Lichtstroms. Die Leuchtdichte einer Fläche bestimmt, mit welcher Flächenhelligkeit das Auge die Fläche wahrnimmt und hat daher von allen photometrischen Größen den unmittelbarsten Bezug zur optischen Sinneswahrnehmung.

Die Leuchtdichte beschreibt die Helligkeit von ausgedehnten, flächenhaften Lichtquellen; für die Beschreibung der Helligkeit von punktförmigen Lichtquellen ist die Lichtstärke besser geeignet.

Definition

Für den Helligkeitseindruck einer Lichtquelle sind neben dem ausgesandten Lichtstrom ${\textstyle \Phi _{\mathrm {v} }}$ , gemessen in Lumen (lm), vor allem zwei weitere Größen maßgebend:

die Fläche $A$ , von der dieser Lichtstrom ausgeht. Eine kleine Fläche erscheint heller als eine große Fläche, die gleich viel Licht abstrahlt. Die entsprechende photometrische Größe ist die spezifische Lichtausstrahlung $M_{\mathrm {v} }=\Phi _{\mathrm {v} }/A$ , gemessen in Lumen durch Quadratmeter (lm/m²). Bei nicht gleichmäßiger Ausstrahlung verwendet man den Lichtstrom pro Flächenelement: $M_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {v} }/\mathrm {d} A$ .
der Raumwinkel $\Omega$ , in den das Licht ausgestrahlt wird. Bei Bündelung in einen kleinen Raumwinkel erscheint die Lichtquelle heller. Die entsprechende photometrische Größe ist die Lichtstärke $I_{\mathrm {v} }=\Phi _{\mathrm {v} }/\Omega$ , gemessen in Lumen durch Steradiant oder Candela (1 cd = 1 lm/sr). Bei nicht gleichmäßiger Ausstrahlung gilt entsprechend $I_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {v} }/\mathrm {d} \Omega$ .

Der Begriff der Leuchtdichte $L_{\mathrm {v} }$ kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit des abgegebenen Lichtstroms:

L_{\mathrm {v} }={\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }}{\mathrm {d} A\cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega }}

$\beta$ ist hierbei der Winkel zwischen Abstrahlrichtung und Flächennormale, die senkrecht auf dem Flächenelement $\mathrm {d} A$ steht. Im Fall einer gleichmäßig leuchtenden ebenen Fläche $A$ mit gleichmäßiger Lichtstärke in den Raumwinkel $\Omega$ vereinfacht sich diese Gleichung zu

L_{\mathrm {v} }\,=\,{\frac {I_{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )}}\,=\,{\frac {\Phi _{\mathrm {v} }}{A\ \cos(\beta )\cdot \Omega }}

.

Der Faktor $1/\cos(\beta )$ wird hinzugefügt, weil das abstrahlende Flächenelement $\mathrm {d} A$ um diesen Faktor verkürzt erscheint, der unter dem Polarwinkel $\beta$ abgegebene Lichtstrom also um den Faktor $\cos(\beta )$ geringer ist als der senkrecht abgegebene Lichtstrom. Die Division durch $\cos(\beta )$ rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass in der Leuchtdichte nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften (z. B. dem Leuchtdichtekoeffizient) übrig bleibt.

Für die Definition der Leuchtdichte ist es unerheblich, ob es sich bei dem vom Flächenelement abgegebenen Licht um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittiertes oder reflektiertes Licht oder eine Kombination daraus handelt. Die Leuchtdichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Licht vorhanden ist. Man denke sich anstelle eines Licht abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives von Licht durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Maßeinheiten

Die SI-Einheit der Leuchtdichte ist Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Im englischsprachigen Raum, vor allem in den USA, wird dafür auch die Bezeichnung Nit (Einheitenzeichen nt, von lateinisch nitere = „scheinen“, Mehrzahl Nits) verwendet: 1 nt = 1 cd/m². Das Nit ist in der EU und der Schweiz keine gesetzliche Einheit.

Weitere Einheiten sind:

Stilb: 1 sb = 1 cd/cm² = 10.000 cd/m² (cgs-Einheit)
Apostilb: 1 asb = 1 blondel = 1/π × 10⁻⁴ sb = 1/π cd/m²
Lambert: 1 L = 1 la = 10⁴/π cd/m² ≈ 3183 cd/m² (in den USA noch gebräuchlich)
Footlambert: 1 fL = 1/π cd/ft² ≈ 3,426 cd/m²

Typische Werte

Empfindlichkeit der Augen

Der Beobachter nimmt die Leuchtdichten der ihn umgebenden Flächen unmittelbar als deren Flächenhelligkeiten wahr. Aufgrund der Anpassungsfähigkeit des Auges können die wahrnehmbaren Leuchtdichten zahlreiche Größenordnungen überstreichen. Das menschliche Auge hat zwei Arten von Sinneszellen: die besonders lichtempfindlichen Stäbchen und die farbempfindlichen Zapfen.

Bei ca. 3e^-6 cd/m² liegt die Sehschwelle. Ab dieser Leuchtdichte ist Lichtwahrnehmung mit den Stäbchen (Nachtsehen) möglich.
Ab 3…30 · 10⁻³ cd/m² tragen auch die Zapfen zum Seheindruck bei.
Ab 3…30 cd/m² spielt der Beitrag der Stäbchen keine Rolle mehr (reines Tagesehen).
Ab 10⁵…10⁶ cd/m² tritt Sättigung der Zapfen (Blendung) auf.

Die angegebenen Werte schwanken von Mensch zu Mensch und sind auch von der Wellenlänge des Lichts abhängig.

Lichtquellen

Natürliche Lichtquellen
Leuchtdichte (cd/m²)
bewölkter Nachthimmel	10⁻⁶…10⁻⁴
sternklarer Nachthimmel	0,001
Nachthimmel bei Vollmond	0,1
mittlerer bedeckter Himmel	2.000
Oberfläche des Mondes	2.500
mittlerer klarer Himmel	8.000
Sonnenscheibe am Horizont	6e⁵
Sonnenscheibe am Mittag	1600e⁶

Technische Strahler
Leuchtdichte (cd/m²)
Elektrolumineszenz-Folie	30…200
T8 Fluoreszenzröhre, kaltweiß	11.000
matte 60-W-Glühlampe	120.000
Natriumdampflampe	500.000
Schwarzer Strahler bei 2045 K	600.000
Draht einer Halogenlampe	20… 30e⁶
weiße LED	50e⁶
Xenon-Gasentladungslampe	5000e⁶

Monitore
Leuchtdichte (cd/m²)
Röhrenmonitor: schwarz	teilweise < 0,01
LCD: schwarz	0,15…0,8
Röhrenmonitor: weiß	80…200
LCD: weiß	150…500
LED Outdoor Videowall	5.000…7.500

Lambertscher Strahler

Mit der oben genannten Definition ${\textstyle L_{\mathrm {v} }=\mathrm {d} ^{2}\Phi _{\mathrm {v} }/(\mathrm {d} A\cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega )}$ kann man umgekehrt den Lichtstrom berechnen, der von einer Abstrahlfläche emittiert wird:

\Phi _{\mathrm {v} }=\int _{\Omega }\int _{A}L_{\mathrm {v} }(\beta ,\varphi ,x,y)\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega \,

.

Da $L_{\mathrm {v} }$ im Allgemeinen vom Ort $x,y$ auf der Leuchtfläche und von den überstrichenen Richtungen $\beta$ und $\varphi$ abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Oberfläche von allen Stellen in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte $L_{\mathrm {v} }=\mathrm {const.}$ abgibt. Einen solchen Körper nennt man diffusen Strahler oder lambertschen Strahler.

Ein Beispiel für eine diffus leuchtende Fläche ist ein beleuchtetes Blatt Papier. Dass das Papier diffus strahlt, also in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte abgibt, bedeutet für den Betrachter, dass es aus allen Richtungen betrachtet dieselbe Flächenhelligkeit aufweist. Da es aber bei schräger Betrachtung um den Projektionsfaktor $\cos \beta$ verkürzt erscheint (also einen kleineren Raumwinkel einnimmt) erreicht den Betrachter trotz gleich gebliebener Flächenhelligkeit eine geringere Lichtmenge: die Lichtstärke in dieser Richtung ist geringer.

Der von einem lambertschen Strahler in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom $\Phi _{\mathrm {v} }$ variiert nur noch mit dem Cosinus des Abstrahlwinkels $\cos \beta$ , und das Integral ist einfach:

\Phi _{\mathrm {v} }=A\cdot L_{\mathrm {v} }\int _{\Omega }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega

.

Dieses verbleibende Integral hängt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels $\Omega$ ab und kann unabhängig von $L_{\mathrm {v} }$ gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt und fertig tabelliert werden.

Wird beispielsweise die Lichtausstrahlung in den gesamten von der Leuchtfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert ${\textstyle \int _{\cap }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega =\pi }$ und der Lichtstrom in den gesamten Halbraum beträgt

\Phi _{\mathrm {v} }=\pi \,A\,L_{\mathrm {v} }\,

.

Die spezifische Lichtausstrahlung ist dann entsprechend

M_{\mathrm {v} }=\pi L_{\mathrm {v} }\,

.

Beispiel: Wenn ein Bildschirm mit der Leuchtdichte 200 cd/m² und der Fläche 0,6 m² die Eigenschaften eines lambertschen Strahlers hat, hat er eine spezifische Lichtausstrahlung von 200π lm/m² und emittiert einen Lichtstrom von 120π lm.

Photometrisches Grundgesetz

Das Photometrische Grundgesetz (auch: „radiometrisches und photometrisches Grundgesetz“) beschreibt den Lichtaustausch zwischen zwei Flächen. Die Leuchtdichte ist hier eine zentrale Größe.

Lichtausstrahlung

Betrachtet man ein Flächenelement $\mathrm {d} A_{1}$ , welches mit der Leuchtdichte $L_{1}$ ein im Abstand $r$ befindliches Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ beleuchtet, so spannt $\mathrm {d} A_{2}$ von $\mathrm {d} A_{1}$ aus betrachtet den Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega _{2}=\cos(\beta _{2})\mathrm {d} A_{2}/r^{2}$ auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

\mathrm {d} ^{2}\Phi _{1\rightarrow 2}=L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} \Omega _{2}={\frac {L_{1}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} A_{2}}{r^{2}}}

Dabei sind $\beta _{1}$ und $\beta _{2}$ die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das photometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich der insgesamt von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Lichtstrom $\Phi _{1\rightarrow 2}$ .

Lichteinstrahlung

Die Beleuchtungsdichte $K$ ist analog zur Leuchtdichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welcher Lichtstrom $\mathrm {d} ^{2}\Phi$ aus der durch den Polarwinkel $\beta$ und den Azimutwinkel $\varphi$ gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement $\cos(\beta )\mathrm {d} A$ und pro Raumwinkelelement $\mathrm {d} \Omega$ empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für den auf Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ empfangenen, von $\mathrm {d} A_{1}$ abgegebenen Lichtstrom:

\mathrm {d} ^{2}\Phi _{2\leftarrow 1}=K_{2}\cdot \cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{2}\,\mathrm {d} \Omega _{1}={\frac {K_{2}\cdot \cos(\beta _{1})\,\cos(\beta _{2})\,\mathrm {d} A_{1}\,\mathrm {d} A_{2}}{r^{2}}}

wobei diesmal der von $\mathrm {d} A_{1}$ aufgespannte Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega _{1}=\cos(\beta _{1})\mathrm {d} A_{1}/r^{2}$ auftritt.

Folgerung

Der von $\mathrm {d} A_{1}$ nach $\mathrm {d} A_{2}$ ausgesandte und der auf $\mathrm {d} A_{2}$ von $\mathrm {d} A_{1}$ empfangene Lichtstrom müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Licht durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

\mathrm {d} ^{2}\Phi _{1\rightarrow 2}=\mathrm {d} ^{2}\Phi _{2\leftarrow 1}\ \Leftrightarrow \ L_{1}=K_{2}

Die von Flächenelement $\mathrm {d} A_{1}$ ausgesandte Leuchtdichte ist identisch mit der auf Flächenelement $\mathrm {d} A_{2}$ eintreffenden Beleuchtungsdichte.

Man beachte also, dass die Leuchtdichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Bei einer optischen Abbildung hat demzufolge jeder Bildpunkt die gleiche Leuchtdichte wie der entsprechende Objektpunkt.

Der gesamte übertragene Lichtstrom $\Phi _{1\rightarrow 2}$ bzw. $\Phi _{2\rightarrow 1}$ nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors $r^{2}$ im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt.

Beispiel: Vergleicht man eine nahe Plakatwand mit einer identisch beleuchteten weiter entfernten, so erscheinen beide gleich „hell“ (sie haben eine abstandsunabhängige und daher in beiden Fällen identische Leuchtdichte). Die nähere Wand nimmt aber für den Beobachter einen größeren Raumwinkel ein, so dass den Beobachter aus diesem größeren Raumwinkel insgesamt ein größerer Lichtstrom erreicht. Die nähere Wand erzeugt eine größere Beleuchtungsstärke beim Beobachter (photometrisches Entfernungsgesetz).

Wird die Beleuchtungsdichte $K$ über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Beleuchtungsstärke genannte Einstrahl-Lichtstromflächendichte $E$ auf der Empfängerfläche in lm/m². Falls die in eine bestimmte Richtung abgegebene Leuchtdichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die mit ihr identische aus derselben Richtung stammende Beleuchtungsdichte der Empfängerfläche bekannt und die Beleuchtungsstärke auf der Empfängerfläche kann aus der Leuchtdichteverteilung der Senderfläche sofort berechnet werden:

E={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} A}}=\int _{\Omega }K(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\cdot \mathrm {d} \Omega

Beispiel: Die Sonne hat eine Leuchtdichte von L₁ ≈ 1,5·10⁹ cd/m² und erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel Ω = 6,8·10⁻⁵ sr. Da dieser Raumwinkel klein ist, kann man die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation mit dem Raumwinkel reduzieren. Wenn im Sommer die Sonne auf 60° Höhe (also 30° von Zenit abweichend) steht, wird die Erde demnach mit E₂ = L₁ · Ω ·cos(30°) = 89 000 lx bestrahlt.

Radiometrische und photometrische Größen im Vergleich

radiometrische Größe	Symbol⁠^a)	SI-Einheit	Beschreibung	photometrische Entsprechung⁠^b)	Symbol	SI-Einheit
Strahlungsfluss Strahlungsleistung, radiant flux, radiant power	$\Phi _{\mathrm {e} }$	W (Watt)	Strahlungsenergie durch Zeit	Lichtstrom luminous flux	$\Phi _{\mathrm {v} }$	lm (Lumen)
Strahlstärke Strahlungsstärke, radiant intensity	$I_{\mathrm {e} }$	W/sr	Strahlungsfluss durch Raumwinkel	Lichtstärke luminous intensity	$I_{\mathrm {v} }$	cd = lm/sr (Candela)
Bestrahlungsstärke irradiance	$E_{\mathrm {e} }$	W/m²	Strahlungsfluss durch Empfängerfläche	Beleuchtungsstärke illuminance	$E_{\mathrm {v} }$	lx = lm/m² (Lux)
Spezifische Ausstrahlung Ausstrahlungsstromdichte, radiant exitance	$M_{\mathrm {e} }$	W/m²	Strahlungsfluss durch Senderfläche	Spezifische Lichtausstrahlung luminous exitance	$M_{\mathrm {v} }$	lm/m²
Strahldichte Strahlungsdichte, Radianz, radiance	$L_{\mathrm {e} }$	W/m²sr	Strahlstärke durch effektive Senderfläche	Leuchtdichte luminance	$L_{\mathrm {v} }$	cd/m²
Strahlungsenergie Strahlungsmenge, radiant energy	$Q_{\mathrm {e} }$	J (Joule)	durch Strahlung übertragene Energie	Lichtmenge luminous energy	$Q_{\mathrm {v} }$	lm·s
Bestrahlung Einstrahlung, radiant exposure	$H_{\mathrm {e} }$	J/m²	Strahlungsenergie durch Empfängerfläche	Belichtung luminous exposure	$H_{\mathrm {v} }$	lx·s
Strahlungsausbeute radiant efficiency	$\eta _{\mathrm {e} }$	1	Strahlungsfluss durch aufgenommene (meist elektrische) Leistung	Lichtausbeute (overall) luminous efficacy	$\eta _{\mathrm {v} }$	lm/W

^a)

Der Index „e“ dient zur Abgrenzung von den photometrischen Größen. Er kann weggelassen werden.

^b)

Die photometrischen Größen sind die radiometrischen Größen, gewichtet mit dem photometrischen Strahlungsäquivalent K, das die Empfindlichkeit des menschlichen Auges angibt.

Siehe auch

Luminanz (Leuchtdichte bei Monitoren)

Literatur

Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin/Offenbach 1997, ISBN 3-8007-2163-5.
Wilhelm Gerster: Moderne Beleuchtungssysteme für drinnen und draußen. 1. Auflage, Compact Verlag, München 1997, ISBN 3-8174-2395-0.
Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Einzelnachweise

1 2 International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary. ref. 845-21-050, Luminance (abgerufen am 16. Juni 2021).
↑ DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik. Teil 3: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. DIN-Taschenbuch Einheiten und Begriffe für physikalische Größen, Beuth, Berlin 1990.
↑ DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung – Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996, für den analogen Fall der radiometrischen Strahldichte.
↑ Nach der Definition der Einheit Candela von 1946 bis 1979, siehe Candela#Geschichte
↑ Datenblatt Xenonstrahler (Memento des Originals vom 3. März 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 (PDF; 5,5 MB).
↑ DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik. Teil 1: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. DIN-Taschenbuch Einheiten und Begriffe für physikalische Größen, Beuth, Berlin 1990.
↑ International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary. ref. 845-25-088, basic law of radiometry and photometry (abgerufen am 4. Juni 2021).
↑ Markus Bautsch: Digitale bildgebende Verfahren: Leuchtdichte. In: Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Abgerufen am 17. Mai 2023.

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[IEC_845-21-050-1] 1 2 International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary. ref. 845-21-050, Luminance (abgerufen am 16. Juni 2021).

[DIN5031-3-2] DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik. Teil 3: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. DIN-Taschenbuch Einheiten und Begriffe für physikalische Größen, Beuth, Berlin 1990.

[DIN9288-3] DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung – Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996, für den analogen Fall der radiometrischen Strahldichte.

[4] Nach der Definition der Einheit Candela von 1946 bis 1979, siehe Candela#Geschichte

[5] Datenblatt Xenonstrahler (Memento des Originals vom 3. März 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 (PDF; 5,5 MB).

[DIN5031-1-6] DIN 5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik. Teil 1: Größen, Formelzeichen und Einheiten der Lichttechnik. DIN-Taschenbuch Einheiten und Begriffe für physikalische Größen, Beuth, Berlin 1990.

[IEC_845-25-088-7] International Electrotechnical Commission (IEC): International Electrotechnical Vocabulary. ref. 845-25-088, basic law of radiometry and photometry (abgerufen am 4. Juni 2021).

[8] Markus Bautsch: Digitale bildgebende Verfahren: Leuchtdichte. In: Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Abgerufen am 17. Mai 2023.

a)

b)