Keplers Ausgangspunkt

Kepler war überzeugt vom heliozentrischen System von Kopernikus (1543), weil es konzeptionell einfacher war und mit weniger angenommenen Kreisen und Parametern auskam als das geozentrische System von Ptolemäus, das seit ca. 150 n. Chr. vorherrschte. Das kopernikanische System ermöglichte zudem weitergehende Fragestellungen, denn erstmals wurde hier, ohne weitere Hypothesen zu bemühen, die Größe aller Planetenbahnen im Verhältnis zur Größe der Erdbahn eindeutig festgelegt. Für diese von Kopernikus gefundenen Größenverhältnisse suchte Kepler sein Leben lang nach einer tieferen Erklärung. Weiter war damals klar geworden, dass die Planeten nicht von festen rotierenden Kristallsphären entlang ihrer Deferenten und Epizykel bewegt werden konnten, denn nach den Beobachtungen von Tycho Brahe am Kometen von 1577 hätte dieser mehrere solcher Schalen durchschlagen müssen. Offenbar fanden Kometen und Planeten selbstständig ihren Weg durch den Raum. Auch ihre Geschwindigkeiten, die sich aus der Größe ihrer Bahn und ihrer Umlaufzeit ermitteln ließen, standen zu den philosophisch begründeten Annahmen im ptolemäischen System im Gegensatz. Dass die Geschwindigkeiten längs der Bahn nicht konstant blieben, war zwar altbekannt, verlangte aber nun ebenso wie die Form der Bahnen nach einer neuen Erklärung. All dies bewog Kepler, in der Astronomie den entscheidenden Schritt zu machen, für die Planetenbewegung „physikalische“ Ursachen anzunehmen, also solche, die sich schon beim Studium irdischer Bewegungen zeigten. Damit widersprach er der bis dahin sakrosankten aristotelischen Lehre, nach der es zwischen Himmel und Erde einen prinzipiellen Gegensatz gebe, und leistete einen bedeutenden Beitrag zur kopernikanischen Wende.

Um dies genauer zu erforschen, war zuerst eine Bestimmung der tatsächlichen Planetenbahnen notwendig. Dafür standen Kepler die Daten aus Tychos jahrzehntelangen Himmelsbeobachtungen zur Verfügung, die nicht nur wesentlich genauer waren (Unsicherheit maximal ca. zwei Winkelminuten) als die immer noch benutzten Daten aus der Antike, sondern sich zum ersten Mal auch über große Teile der Planetenbahnen erstreckten. Bei der Auswertung dieser Daten folgte Kepler konsequent der neuartigen Leitidee, dass die physikalische Ursache der Planetenbewegungen in der Sonne liegt und nicht in dem fiktiven Punkt namens „mittlere Sonne“, der von Ptolemäus eingeführt und von Kopernikus in den ansonsten leeren Mittelpunkt desjenigen Kreises gesetzt worden war, den er der Erde zugewiesen hatte. Dabei stellte Kepler sich vor, die wirkliche Sonne wirke auf die Planeten wie ein Magnet, und führte dieses Bild auch detailliert aus.

Bei seiner Arbeit betrat Kepler auch in einer zweiten Hinsicht Neuland. Zum Ausgangspunkt der Analyse der Bahnen nahm er, anders als alle früheren Astronomen, nicht die von den Philosophen seit Platon und Aristoteles vorgeschriebene gleichförmige Kreisbewegung, der dann weitere gleichförmige Kreisbewegungen hinzugefügt wurden (Epizykeltheorie), um die Abweichungen von den am Himmel beobachteten Planetenpositionen zu verringern. Vielmehr versuchte er, aus den Himmelsbeobachtungen die tatsächlichen Bahnen und die veränderliche Geschwindigkeit, mit der die Planeten auf ihnen laufen, zunächst direkt zu rekonstruieren.

Zum Dritten betrat Kepler auch in der Art der Darstellung seiner Arbeit Neuland. Üblich war bei Astronomen bis dahin, dass sie ihr System erst im fertig ausgearbeiteten Zustand veröffentlichten. Sie erklärten, wie es Stück für Stück aufzubauen sei, indem sie für jede der nötigen Einzelannahmen philosophische oder theologische Begründungen anführten. Kepler hingegen beschrieb Schritt für Schritt den tatsächlichen Fortgang seiner jahrelangen Arbeit, einschließlich seiner zwischenzeitlichen Fehlschläge aufgrund von untauglichen Ansätzen (wie etwa eine ovale Form der Bahn). Im Jahr 1609 veröffentlichte er den ersten Teil seiner Ergebnisse mit dem bezeichnenden Titel Astronomia Nova mit dem Zusatz „Neue Astronomie, ursächlich begründet, oder Physik des Himmels, […] nach Beobachtungen des Edelmanns Tycho Brahe“. Das Werk gipfelt in den beiden ersten Keplerschen Gesetzen, die für jede Planetenbahn einzeln gelten. Keplers tiefere Erklärung des gesamten Systems und der Beziehungen der Planetenbahnen untereinander erschien 1619 unter dem Titel Harmonices mundi („Harmonien der Welt“). Darin findet sich – eher beiläufig – ein Satz, der die Bahnen verschiedener Planeten aufeinander bezieht und später als das dritte Keplersche Gesetz bekannt wurde.

Keplers Vorgehensweise

Keplers erstes Ergebnis bei der Arbeit war, dass weder das ptolemäische noch das kopernikanische System die Planetenpositionen hinreichend genau wiedergeben konnte, auch nicht nach Verbesserung einzelner Parameter, z. B. der Exzentrizitäten. Er benutzte diese Modelle aber weiter als Näherung, um aus Tychos Beobachtungen diejenigen auszuwählen, die für genauere Charakterisierung der Bahnen am geeignetsten wären. So fand er, dass die exzentrischen Bahnen von Mars und Erde gegenüber den Fixsternen (mit hinreichender Genauigkeit) fest bleiben, dass jede in einer Ebene verläuft, in der auch die Sonne steht, und dass die beiden Bahnebenen leicht gegeneinander geneigt sind.

So konnte Kepler annehmen, dass der Mars, obwohl seine genaue Bahn noch unbekannt war, nach jedem seiner Umläufe um die Sonne wieder die gleiche Position im Weltraum einnimmt, auch wenn er von der Erde aus gesehen an verschiedenen Himmelspositionen erscheint, weil dann die Erde jedes Mal an einer anderen Stelle ihrer Bahn steht. Daraus bestimmte er zunächst mit ca. vierstelliger Genauigkeit die Erdbahn. Auf dieser Basis wertete er die übrigen Beobachtungen des Mars aus, bei dem die Abweichungen von einer Kreisbahn deutlicher sind als bei der Erde. Als er nach vielen Fehlschlägen und langem Probieren den Maximalfehler bei der Position des Mars am Himmel nicht unter acht Winkelminuten (etwa 1/4 Vollmonddurchmesser) drücken konnte, nahm er einen weiteren Anlauf und fand – halbwegs zufällig –, dass die Marsbahn am besten durch eine Ellipse wiederzugeben ist, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte steht. Dieses Ergebnis bestätigte sich auch bei der Erdbahn, und es passte auch zu allen anderen von Tycho beobachteten Planeten. Kepler war bekannt, dass auch eine ellipsenförmige Bahn exakt aus zwei Kreisbewegungen zusammengesetzt werden kann, er beachtete diese Möglichkeit aber nicht weiter. Zur genauen Darstellung der Bewegung müssten diese Kreisbewegungen nämlich um ihre jeweiligen Mittelpunkte mit variabler Geschwindigkeit ablaufen, wofür kein physikalischer Grund ersichtlich sei:

Bei der anschließenden Suche nach dem Gesetz über den gesamten Aufbau des Sonnensystems, die wiederum etwa ein Jahrzehnt dauerte, verfolgte Kepler die Idee einer dem Schöpfungsplan zugrunde liegenden Harmonie, die sich – wie im Fall der Harmonie in der Musik – in einfachen Zahlenbeziehungen auffinden lassen müsste. Sein Ergebnis publizierte er 1619 als Harmonice mundi (‚Harmonien der Welt‘). Für die spätere Astronomie ist darin von bleibendem Wert nur die kurze Mitteilung (im 5. Buch des Werks), nach der die Quadrate der Umlaufzeiten aller Planeten im selben Verhältnis stehen wie (in modernen Worten) die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Kepler suchte auch nach einer physikalischen Erklärung, wie die Sonne auf die Planeten einwirken könne, um die beobachteten Bewegungen zu verursachen. Seine Überlegungen zu einer magnetischen Fernwirkung oder einer den Planeten innewohnenden Anima motrix blieben aber fruchtlos. Später konnte Isaac Newton nachweisen, dass die drei Keplerschen Gesetze die exakte Lösung der Bewegung eines Körpers unter der Einwirkung einer Kraft nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz wiedergeben. Dies gilt als ein bedeutender Schritt bei der Entwicklung der klassischen Mechanik und der modernen Naturwissenschaft insgesamt.

Entwicklung des Geltungsbereichs

Kepler formulierte die Gesetze für die Planeten, die ihm bekannt waren. Nach dem kosmologischen Prinzip sind sie aber überall im Universum gültig. Das heliozentrische Sonnensystem ist der weitaus bedeutendste Anwendungsfall, daher werden die Keplerschen Gesetze in der Literatur häufig nur eingeschränkt für Planeten formuliert. Sie gelten aber ebenso auch für Monde, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, für Sternhaufen wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und für alle anderen Objekte im Weltall. Außerdem bilden sie die Basis der Raumfahrt und erklären die Bahnen der Satelliten.

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber relativistische Effekte auszuwirken, und die Differenzen zum Keplermodell dienen primär als Prüfkriterium für die entsprechenden moderneren Konzepte über Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplerschen Gesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Die Umlaufbahn eines Trabanten um einen Stern ist eine raumfeste, ebene Ellipse, die einen ihrer Brennpunkte am Ort des Sterns hat.

Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz.

Die Energie eines Trabanten mit Masse ${\displaystyle m}$ im Newtonschen Gravitationsfeld der Sonne mit Masse ${\displaystyle M}$ ist in Kugelkoordinaten mit der Sonne bei ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle E=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})-{\frac {GMm}{r}}.}$

Mit Hilfe des Drehimpulses ${\displaystyle L=mr^{2}d\phi /dt}$ und

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {dr}{d\phi }}{\frac {d\phi }{dt}}\ \Rightarrow \ {\dot {r}}={\frac {dr}{d\phi }}{\dot {\phi }}}$

lässt sich die Energiegleichung zu

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}=2m{\frac {r^{4}}{L^{2}}}\left[E+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}\right]}$

umformen. Diese Differentialgleichung wird mit dem Ansatz

${\displaystyle r(\phi )={\frac {p}{1+\varepsilon \cdot \cos \phi }}}$

gelöst, der die allgemeine Formel eines Kegelschnitts mit Parameter ${\displaystyle p}$ und numerischer Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$ darstellt. Dazu wird die Ableitung

${\displaystyle {\frac {dr}{d\phi }}={\frac {p\varepsilon \cdot \sin \phi }{(1+\varepsilon \cdot \cos \phi )^{2}}}={\frac {r^{2}\varepsilon \cdot \sin \phi }{p}}}$

quadriert und daraus ${\displaystyle \phi }$ eliminiert, was erneutes durch Einsetzen des umgestellten Ansatzes

${\displaystyle \varepsilon \cdot \cos \phi ={\frac {p}{r}}-1}$

gelingt. Es folgt

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}\varepsilon ^{2}(1-\cos ^{2}\phi )}{p^{2}}}={\frac {r^{4}}{p^{2}}}\left(\varepsilon ^{2}-\left({\frac {p}{r}}-1\right)^{2}\right)={\frac {r^{4}}{p^{2}}}\left(\varepsilon ^{2}-1+{\frac {2p}{r}}-{\frac {p^{2}}{r^{2}}}\right)}$

Daher ist die Energiegleichung erfüllt, wenn die beiden Parameter wie folgt festgelegt werden:

${\displaystyle p={\frac {({\frac {L}{m}})^{2}}{GM}}{\text{ und }}\varepsilon ={\sqrt {1+{\frac {2{\frac {E}{m}}({\frac {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}}}}$

Der Parameter ${\displaystyle p}$ und die numerische Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$ sind die Gestaltelemente der Bahn. Für den Fall ${\displaystyle E<0}$, also ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ gilt: Der durch ${\displaystyle r(\phi )}$ beschriebene Kegelschnitt ist eine Ellipse mit einem Brennpunkt bei ${\displaystyle r=0}$. Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet. Die Ellipse besitzt folgende Eigenschaften:

Beschreibung der Ellipse

Große Halbachse	${\displaystyle a={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}}$
Kleine Halbachse	${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$
Brennpunkte (in (x,y)-Koordinaten)	${\displaystyle F_{1}=(0,0)}$ ${\displaystyle F_{2}=\left(-{\frac {2\varepsilon p}{1-\varepsilon ^{2}}},0\right)}$
r minimal (Perizentrum)	${\displaystyle P=\left({\frac {p}{1+\varepsilon }},0\right)}$
r maximal (Apozentrum)	${\displaystyle A=\left(-{\frac {p}{1-\varepsilon }},0\right)}$

In dieser Herleitung wurde zur Vereinfachung das Kraftzentrum – die Sonne – als ruhend angenommen. Für die genaue Herleitung aus der Newtonschen Mechanik müssen Trabant und Sonne als Zweikörpersystem behandelt werden. Bei ruhendem Massenmittelpunkt bewegen sich dann beide Körper. Aus dieser exakten Behandlung ergibt sich für die Bewegung der Körper relativ zueinander die gleiche Lösung wie oben, es muss nur die Masse ${\displaystyle m}$ des Trabanten durch die reduzierte Masse ${\displaystyle m/(1+m/M)}$ ersetzt werden. Es spielt auch keine Rolle, ob die Bahn vom Massenmittelpunkt, dem Baryzentrum, aus beschrieben wird statt von der Sonne aus. Nur die Bahnellipse schrumpft um denselben Faktor ${\displaystyle 1/(1+m/M)}$, der sich beim Erde-Sonne-System nur um 10⁻⁶ von 1 unterscheidet.

Ferner ist die obige Rechnung für eine anziehende Kraft formuliert worden. Für eine abstoßende Kraft wie z. B. zwischen zwei gleichnamigen elektrischen Ladungen muss nur das Vorzeichen von ${\displaystyle M}$ bzw. ${\displaystyle p}$ umgedreht werden.

Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.

Unter dem Fahrstrahl versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines Himmelskörpers, z. B. eines Planeten oder Mondes, und dem Gravizentrum, z. B. in erster Näherung der Sonne respektive des Planeten, um das er sich bewegt.

Eine einfache Herleitung ergibt sich, wenn man die Flächen betrachtet, die der Fahrstrahl in kleinen Zeitabschnitten zurücklegt und die Kraft als momentanen Kraftstoß nur jeweils am Ende eines Abschnitts einwirken lässt. Lässt man die Zeitschritte infinitesimal kleiner werden, so erhält man die Bahnbewegung bei kontinuierlich einwirkender Kraft. In der Graphik rechts sei Z das Kraftzentrum. Der Trabant bewegt sich im Zeitabschnitt ${\displaystyle \Delta t}$ zunächst von A nach B. Würde sich seine Geschwindigkeit nicht ändern, so würde er sich im nächsten Zeitschritt ${\displaystyle \Delta t}$ von B nach C bewegen. Da die beiden Dreiecke ZAB und ZBC die Seite ZB gemeinsam haben und zu dieser Seite auch eine gleich große Höhe (Projektion von AB bzw. BC auf die Normale zu ZB), beinhalten sie auch die gleiche Fläche. Wirkt nun im Punkt B eine Kraft in Richtung Z, so wird die Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ um ein ${\displaystyle \Delta v}$ abgelenkt, das parallel zur Strecke ZB ist. Statt bei C landet der Trabant also bei C’. Da auch die beiden Dreiecke ZBC und ZBC’ dieselbe Basis und die gleiche Höhe haben, ist auch ihre Fläche gleich. Damit gilt der Flächensatz für die beiden kleinen Zeitabschnitte der Länge ${\displaystyle \Delta t}$, und nach dem Grenzübergang ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$ auch für die gekrümmte Bahnkurve.

Eine formelmäßige Herleitung geht von der in einem infinitesimalen Zeitschritt überstrichenen Fläche ${\displaystyle F}$ aus:

${\displaystyle F(t,t+\mathrm {d} t)={\frac {1}{2}}|\mathrm {r} (t)\times \mathbf {\dot {r}} (t)\mathrm {d} t|={\frac {L}{2m}}\mathrm {d} t}$.

Da für eine Zentralkraft der Drehimpuls wegen

${\displaystyle \mathbf {\dot {L}} =m(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {\dot {r}} +\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} )=m\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} =m\mathbf {r} \times f(r)\mathbf {r} =\mathbf {0} }$

konstant ist, ist das Flächenintegral somit gerade

${\displaystyle F(t_{0},t_{1})={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}|\mathbf {r} (t)\times \mathbf {\dot {r}} (t)|\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\frac {L}{m}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {d} t={\frac {L}{2m}}\,(t_{1}-t_{0})}$.

Für gleiche Zeitdifferenzen ${\displaystyle t_{1}-t_{0}}$ ist also die überstrichene Fläche gleich groß.

Das zweite Keplersche Gesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn (als Bahn in einer Ebene) als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur für den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Das zweite Keplersche Gesetz ist im Gegensatz zu den anderen beiden Gesetzen nicht auf die ${\displaystyle 1/r^{2}}$-Kraft der Gravitation beschränkt (tatsächlich ging Kepler mit seiner Anima motrix auch von einer ${\displaystyle 1/r}$-Kraft aus), sondern gilt allgemein für alle Zentralkräfte und Bewegungen mit konstantem Drehimpuls. Kepler war lediglich an einer Beschreibung der Planetenbahnen interessiert, doch ist das zweite Gesetz bereits die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als Drehimpulserhaltung kennen. Das zweite Keplersche Gesetz kann als spezielle Formulierung des Drehimpulssatzes gesehen werden (siehe auch Drallsatz #Flächensatz).

Das zweite Keplersche Gesetz hat zwei grundlegende Konsequenzen auch für die Bewegungsverhältnisse in Mehrkörpersystemen, sowohl für Sonnensysteme als auch für die Raumfahrt: Die Konstanz des Bahnnormalenvektors besagt, dass elementare Himmelsmechanik ein ebenes Problem ist. Tatsächlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der Himmelskörper, sodass Masse außerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenen präzedieren (ihre Lage im Raum verändern). Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, der Ekliptik), sie zeigen vielmehr eine Inklination und auch Periheldrehung, zudem schwankt auch die ekliptikale Breite der Sonne. Umgekehrt ist es verhältnismäßig leicht, einen Raumflugkörper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwändig, etwa eine Sonde über dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen dem Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Körper bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an seinem Schwerezentrum befindet und umso langsamer, je weiter er davon entfernt ist. Dies gilt beispielsweise für den Lauf der Erde um die Sonne wie auch für den Lauf des Mondes oder eines Satelliten um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndes freies Fallen, nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt der Bahn dar: Der Körper wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnächsten Punkt) die höchste Geschwindigkeit und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), von dem aus er wieder beschleunigt. So gesehen ist die Keplerellipse ein Spezialfall des schiefen Wurfs, der sich in seiner Bahn schließt. Diese Überlegung spielt in der Raumfahrtphysik eine zentrale Rolle, wo es darum geht, mit einem passend gewählten Anfangsimpuls (durch den Start) eine geeignete Umlaufbahn zu erzeugen: Je kreisähnlicher die Bahn, desto gleichmäßiger die Umlaufgeschwindigkeit.

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ ihrer Ellipsenbahnen.

oder

Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben (dritten Potenzen) der großen Halbachsen:

${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}}$ … drittes Keplersches Gesetz

Kepler verwendete für die halben Bahnachsen ${\displaystyle a_{1,2}}$ die mittleren Entfernungen von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz).

${\displaystyle C={\frac {T^{2}}{a^{3}}}}$ … drittes Keplersches Gesetz, massenunabhängige Formulierung mit Kepler-Konstante der Zentralmasse (Gaußsche Gravitationskonstante des Sonnensystems)

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das dritte Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle m}$ die Form

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}\approx {\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}}$ … drittes Keplersches Gesetz, Formulierung mit zwei Massen

Dabei gilt die Näherung, wenn die Masse ${\displaystyle m}$ vernachlässigbar klein im Vergleich zu ${\displaystyle M}$ ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}{\frac {M+m_{2}}{M+m_{1}}}}$ … drittes Keplersches Gesetz, Formulierung mit drei Massen

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse ${\displaystyle M}$ hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Das dritte Keplersche Gesetz gilt dabei für alle Kräfte, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, wie man auch leicht aus der Skalenbetrachtung herleiten kann. In der Gleichung

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{(dt)^{2}}}={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

taucht ${\displaystyle r}$ in der dritten Potenz und ${\displaystyle t}$ quadratisch auf. Unter einer Skalentransformation ${\displaystyle r'=\alpha r,t'=\beta t}$ erhält man somit dieselbe Gleichung, wenn ${\displaystyle \alpha ^{3}=\beta ^{2}}$ ist. Andererseits ist dadurch schnell erkennbar, dass das Analogon des dritten Keplerschen Gesetzes für geschlossene Bahnen in einem ${\displaystyle 1/r^{k}}$-Kraftfeld für beliebiges ${\displaystyle k}$ gerade ${\displaystyle (a_{1}/a_{2})^{k+1}=(T_{1}/T_{2})^{2}}$ lautet.