Die klassische Poincaré-Ungleichung

Sei ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle \Omega }$ eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Lipschitz-Rand (d. h. ${\displaystyle \Omega }$ ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante ${\displaystyle C}$, die nur von ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle p}$ abhängt, so dass für jede Funktion ${\displaystyle u}$ im Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ die Ungleichung

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

gilt, wobei

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

der Mittelwert von ${\displaystyle u}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist, ${\displaystyle |\Omega |}$ bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$.

Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung kann man zeigen, dass die ${\displaystyle L^{2}}$-Poincaré-Ungleichung aus der ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung folgt. Allgemein: Wenn für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ die Poincaré-Ungleichung für ein ${\displaystyle p^{\prime }}$ gilt, dann gilt sie auch für alle ${\displaystyle p>p^{\prime }}$, eventuell mit einer anderen Konstanten ${\displaystyle C}$.

Eindimensionales Beispiel

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion mit Fourierreihe

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$,

dann ist unter Benutzung der Parsevalschen Gleichung

${\displaystyle \|f-f_{[0,2\pi ]}\|_{L^{2}[0,2\pi ]}=\sum _{n\not =0}|a_{n}|^{2}\leq \sum _{n}n^{2}|a_{n}|^{2}=\|f'\|_{L^{2}[0,2\pi ]}}$.

Mannigfaltigkeiten

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Ricci-Krümmung (zum Beispiel nichtnegativer Schnittkrümmung) gilt die Poincaré-Ungleichung. Es gibt eine nur von der Dimension n abhängende Konstante ${\displaystyle C_{n}}$, so dass für alle ${\displaystyle p\in M,r>0,u\in W_{loc}^{2,1}(M)}$ gilt:

${\displaystyle \|u-u_{B(p,r)}\|_{L^{2}(B(p,r))}\leq C_{n}r\|\nabla u\|_{L^{2}(B(p,r))}}$

Metrische Räume

Bruce Kleiner bewies 2007 eine Poincaré-Ungleichung für die Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen:

${\displaystyle \int _{B_{R}}\|f-f_{R}\|^{2}\leq 8\|S\|^{2}R^{2}{\frac {\|B(2R)\|}{\|B(R)\|}}\int _{B_{3R}}\|\nabla f\|^{2},}$

wobei ${\displaystyle f}$ eine stückweise glatte Funktion, ${\displaystyle f_{R}}$ ihr Mittelwert über den Ball ${\displaystyle B_{R}}$ und ${\displaystyle S}$ das den Cayley-Graphen definierende Erzeugendensystem ist. Mit Hilfe dieser Ungleichung gab er einen vereinfachten Beweis von Gromows Satz über Gruppen polynomialen Wachstums.

Für metrische Räume mit nichtnegativer Ricci-Krümmung im Sinne von Lott-Villani-Sturm wurde die schwache lokale ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung 2012 von Rajala bewiesen.

Verallgemeinerungen

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume, zum Beispiel die folgende Poincaré-Ungleichung für den Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$, d. h. den Raum der Funktionen ${\displaystyle u}$ im ${\displaystyle L^{2}}$-Raum des Torus ${\displaystyle T^{2}}$, deren Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\hat {u}}}$ die Bedingung

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$

erfüllt: Es gibt eine Konstante ${\displaystyle C}$, so dass für jedes ${\displaystyle u\in H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$ mit ${\displaystyle u}$ identisch 0 auf einer offenen Menge ${\displaystyle E\subset T^{2}}$ folgende Ungleichung gilt:

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {cap} (E\times \left\{0\right\})}$ die harmonische Kapazität von ${\displaystyle E\times \left\{0\right\}}$ als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ bedeutet.