Test auf kleinsten signifikanten Unterschied

Im Test auf kleinsten signifikanten Unterschied (least significant difference test, kurz: LSD test), auch Test auf kleinste gesicherte Differenz, oder Grenzdifferenztest ist die Teststatistik:

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{i}-{\overline {X}}_{j}}{S{\sqrt {{\tfrac {1}{n_{i}}}+{\tfrac {1}{n_{j}}}}}}}\sim t_{n-m}}$

mit

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-m}}\sum _{j=1}^{m}(n_{j}-1)S_{j}^{2}}$

und ${\displaystyle S_{j}^{2}}$ die Gruppenvarianz der Gruppe ${\displaystyle j}$.

Der Test auf kleinsten signifikanten Unterschied beruht auf dem Zweistichproben-t-Test, jedoch wird die Varianz mit Hilfe aller Gruppen berechnet.

Bonferroni-Test auf kleinsten signifikanten Unterschied

Im Bonferroni-Test auf kleinsten signifikanten Unterschied ist die Teststatistik identisch zur Teststatistik des Tests auf kleinsten signifikanten Unterschied. Jedoch wird das Signifikanzniveau nach der Bonferroni-Methode korrigiert. Wird die Varianzanalyse mit dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ durchgeführt, so wird das korrigierte Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ für die paarweisen Mittelwertvergleiche benutzt:

${\displaystyle \alpha ^{*}={\frac {2}{m(m-1)}}\alpha }$.

Die kritischen Werte für das korrigierte Signifikanzniveau finden sich in speziellen Tabellen oder können mit Hilfe der Approximation

${\displaystyle t_{n-m;1-\alpha /2}\approx {\frac {z_{1-\alpha }}{1-{\tfrac {z_{1-\alpha }^{2}+1}{4(n-m)}}}}}$

bestimmt werden. ${\displaystyle z_{1-\alpha }}$ ist das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil aus der Standardnormalverteilung.

Der Test sollte nur bei nicht zu großem ${\displaystyle m}$ angewandt werden, da sonst das korrigierte Signifikanzniveau zu klein wird und sich Nichtablehnungsbereiche der t-Tests überschneiden. Ist z. B. ${\displaystyle m=5}$ und ${\displaystyle \alpha =5\,\%}$, dann ist ${\displaystyle \alpha ^{*}=0{,}5\,\%}$.

Scheffé-Test

Der Scheffé-Test verlangt eigentlich die Varianzhomogenität in den Gruppen, jedoch ist er gegen die Verletzung dieser Voraussetzung unempfindlich.

Tukey-Test

Im Tukey-Test ergeben sich die kritischen Werte aus

${\displaystyle q(\alpha ,m,n-m)\,}$,

d. h., es findet keine Bonferroni-Korrektur statt und die Zahl der überspannten Mittelwerte wird nicht berücksichtigt.

Student-Newman-Keuls-Test

Im Student-Newman-Keuls-Test ergeben sich die kritischen Werte aus

${\displaystyle q(\alpha ,p,n-m)\,}$,

d. h., es findet keine Bonferroni-Korrektur statt und die Zahl der überspannten Mittelwerte wird berücksichtigt.

Duncan-Test

Im Duncan-Test ergeben sich die kritischen Werte aus

${\displaystyle q(1-(1-\alpha )^{p-1},p,n-m)\,}$,

d. h., es findet eine Bonferroni-Korrektur statt und die Zahl der überspannten Mittelwerte wird berücksichtigt.

Bei der Anwendung des Duncan-Tests ist zu beachten, dass er lediglich gruppenweise Vergleiche durchführt, sodass eindeutige Signifikanzaussagen nicht immer möglich sind.

Paarweise Vergleiche

Der paarweise Vergleich dient der Aussage über signifikante Unterschiede zwischen den Mittelwerten der einzelnen Gruppen. Im vorliegenden Beispiel werden für die jeweiligen paarweisen Vergleiche für jede Kombination von zwei Bundesländern ausgegeben:

• die Differenz ${\displaystyle {\overline {x}}_{i}-{\overline {x}}_{j}}$,
• der Standardfehler,
• der p-Wert (Spalte: Signifikanz), der bei Unterschreitung des vorgegebenen Signifikanzniveaus eine Ablehnung der Gleichheit der Mittelwerte bedeutet, und
• ein 95 %-Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte. Enthält das Konfidenzintervall nicht die Null wird die Nullhypothese zum Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt.

Bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % unterscheidet sich nur der Mittelwert Sachsens signifikant von dem Schleswig-Holsteins (p-Wert gleich 2,1 %), bei allen anderen Vergleichen mit Schleswig-Holstein werden keine signifikanten Unterschiede festgestellt.

Gruppenweise Vergleiche

Mittels des gruppenweisen Vergleichs lassen sich detaillierte Aussagen über die Homogenität der Mittelwerte von Gruppen treffen. Aussagen über die signifikanten Unterschiede zwischen den Gruppen erlaubt dieser Vergleich jedoch nur eingeschränkt.

Im vorliegenden Beispiel wird ein iterativer Prozess durchgeführt, um homogene Untergruppen zu finden, d. h. Gruppen, in denen die Nullhypothese der Gleichheit der Mittelwerte nicht abgelehnt wird. Dazu werden die beobachteten Mittelwerte der Größe nach geordnet ${\displaystyle {\overline {x}}_{(1)}\leq \dots \leq {\overline {x}}_{(16)}}$ und es wird eine Folge von Tests durchgeführt.

Überspannte Mittelwerte	Geprüfte Nullhypothesen ${\displaystyle H_{0}}$
16				${\displaystyle \mu _{(1)}=\dots =\mu _{(16)}}$
15			${\displaystyle \mu _{(1)}=\dots =\mu _{(15)}}$		${\displaystyle \mu _{(2)}=\dots =\mu _{(16)}}$
14		${\displaystyle \mu _{(1)}=\dots =\mu _{(14)}}$		${\displaystyle \mu _{(2)}=\dots =\mu _{(15)}}$		${\displaystyle \mu _{(3)}=\dots =\mu _{(16)}}$
13	${\displaystyle \mu _{(1)}=\dots =\mu _{(13)}}$		${\displaystyle \mu _{(2)}=\dots =\mu _{(14)}}$		${\displaystyle \mu _{(3)}=\dots =\mu _{(15)}}$		${\displaystyle \mu _{(4)}=\dots =\mu _{(16)}}$
…	Im allgemeinen Fall werden weitere Tests mit immer weniger Gruppen durchgeführt
Im Beispiel:	${\displaystyle H_{0}}$ nicht abgelehnt		${\displaystyle H_{0}}$ in zuvor nicht abgelehnter ${\displaystyle H_{0}}$ enthalten			${\displaystyle H_{0}}$ abgelehnt

Im ersten Schritt wird die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}:\mu _{(1)}=\dots =\mu _{(16)}}$ getestet und abgelehnt; wir wissen ja schon, dass die Mittelwerte unterschiedlich sind. Dann wird zunächst

• das Bundesland mit dem größten Mittelwert entfernt und die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}:\mu _{(1)}=\dots =\mu _{(15)}}$ getestet und
• das Bundesland mit dem kleinsten Mittelwert entfernt und die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}:\mu _{(2)}=\dots =\mu _{(16)}}$ getestet.

In beiden Tests werden nur noch Gruppen mit 15 Bundesländern getestet. Wird die Nullhypothese bei einem der Tests abgelehnt (in der Tabelle rot), so werden aus der Gruppe das Bundesland mit dem größten Mittelwert und das Bundesland mit dem kleinsten Mittelwert entfernt und es wird erneut getestet. Damit wird eine Sequenz von zu testenden Nullhypothesen mit einer immer kleiner werdenden Anzahl von Mittelwerten aufgebaut.

Das Verfahren wird abgebrochen, wenn

• entweder die Nullhypothese bei einem der Tests nicht abgelehnt werden kann (in der Tabelle grün) oder
• die betrachtete Nullhypothese bereits Teil einer nicht abgelehnten Nullhypothese ist (in der Tabelle gelb) oder
• nur noch ein Bundesland übrig ist.

Die "grünen" Untergruppen werden von SPSS ausgegeben.

Für das Beispiel ergeben sich zwei homogene Untergruppen mit jeweils 14 Bundesländern. D. h., hier konnte die Nullhypothese der Gleichheit der Mittelwerte nicht abgelehnt werden. Von der homogenen Untergruppe 1 sind Bremen und Hamburg, von der homogenen Untergruppe 2 Sachsen und Mecklenburg-Vorpommern ausgeschlossen. Aussagen darüber, welche Mittelwerte welcher Bundesländer signifikant verschiedenen sind, können in diesem Fall nicht getroffen werden.