Die Präzession bezeichnet die Richtungsänderung, die die Rotationsachse eines rotierenden Körpers (Kreisel) ausführt, wenn eine äußere Kraft ein Drehmoment senkrecht zu dieser Achse ausübt. Dabei beschreibt die Rotationsachse einen Umlauf auf dem Mantel eines gedachten Kegels mit fester Kegelachse. Anschaulich zeigt sich die Präzession beim Tischkreisel, der trotz Schiefstellung nicht umkippt, solange er – schnell genug – rotiert.

Speziell in der Astronomie ist mit Präzession die Richtungsänderung der Erdachse gemeint, die eine Folge der Massenanziehung des Mondes und der Sonne in Verbindung mit der Abweichung der Erdfigur von der Kugelform ist. Sie äußert sich durch das Fortschreiten des Frühlingspunkts entlang der Ekliptik, woraus sich auch die Bezeichnung Präzession (lateinisch für ‚Fortschreiten‘) herleitet.

Grundlagen

Übt man auf einen rotierenden Kreisel ein Drehmoment aus, so weicht der Kreisel stets senkrecht zu der Richtung aus, die man erwarten würde, wenn der Kreisel nicht rotieren würde. Kurz als Merksatz formuliert: „Kreiselachse jagt Momentvektor.“ Bei einem konstant einwirkenden Drehmoment ergibt sich die oben genannte Präzession.

Nachfolgend wird der Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkei der Präzessionsbewegung der Drehachse eines schweren Kreisels und der Winkelgeschwindigkeit seiner Eigenrotation hergeleitet.

Es sei ein rotierender symmetrischer Tischkreisel angenommen, der schräg steht. Aufgrund seiner Masse wirkt auf den Schwerpunkt des Kreisels die Gewichtskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}}$ und eine gleich große entgegengerichtete Kraft am Auflagepunkt. Für den Betrag des daraus resultierenden Drehmoments ${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{g}}$ gilt

${\displaystyle M=|{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{g}|=m\,g\,r\,\sin \alpha }$.

Dabei gibt ${\textstyle \alpha }$ den Winkel zwischen Rotationsachse und Schwerkraft an, r ist der Abstand zwischen Auflagepunkt und Schwerpunkt des Kreisels sowie m die Masse und g die Erdbeschleunigung.

Es ist bekannt, dass schief stehende Kreisel den charakteristischen Präzessionskegel mit der Kegelachse längs der Schwerkraft überstreichen. Bei einem symmetrischen Kreisel liegen Rotationsachse, Figurenachse und Drehimpuls parallel und kreisen alle mit derselben Winkelgeschwindigkeit um eine Kegelachse, die parallel zur Präzessionsfrequenz ${\textstyle {\vec {\omega }}_{\text{P}}}$ und antiparallel zur Schwerkraft ausgerichtet ist. Die zeitliche Änderung des um ${\textstyle {\vec {\omega }}_{\text{P}}}$ kreisenden Drehimpulses ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ist gegeben durch (siehe Zeitableitung in beschleunigtem Bezugssystem)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\omega }}_{\text{P}}\times {\vec {L}}.}$

Nach dem Drallsatz muss dieses gleich dem äußeren Drehmoment ${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{g}}$ sein, d. h. für die Beträge muss entsprechend gelten ${\displaystyle |{\vec {\omega }}_{\text{P}}\times {\vec {L}}|=|{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{g}|}$. Mit ${\displaystyle |{\vec {\omega }}_{\text{P}}\times {\vec {L}}|=L\,\omega _{\text{P}}\,\sin \alpha }$ folgt durch Umstellen

${\displaystyle {\begin{aligned}L\,\omega _{\text{P}}\,\sin \alpha &=m\,g\,r\,\sin \alpha \\\Leftrightarrow \omega _{\text{P}}&={\frac {m\,g\,r}{L}}\\&={\frac {m\,g\,r}{I_{\text{S}}\,\omega _{\text{S}}}}.\end{aligned}}}$

Dabei stellt I_S das Trägheitsmoment dar und ω_S die Winkelgeschwindigkeit des Kreisels. Diese Formel gilt näherungsweise für ${\displaystyle \omega _{\text{S}}\gg \omega _{\text{P}}}$.

Die resultierende Winkeländerung pro Zeit wird bei der Rotation der Erde als Präzessionskonstante bezeichnet.

Die Präzession kann intuitiv unter Berücksichtigung des Quadratradmodells verstanden werden. Angenommen, wir ersetzen den Reifen eines sich drehenden und präzedierenden Rades (des Kreisels), das an einem der Enden seiner Rotationsachse aufgehängt ist, durch den Fluss einer idealen, schweren und inkompressiblen Flüssigkeit mit Stromlinien, die genau parallel zum Reifen verlaufen. Auf diese Weise können wir den gleichen Drehimpuls wie mit einem sich drehenden Rad erzeugen, während die Strömungsschleife in die Form eines Quadrats (oder eines leicht gebogenen Quadrats) gebracht werden kann. Die absolute Geschwindigkeit der Strömung ist im unteren Quadratradsegment höher als im oberen Quadratradsegment, da sich im unteren Segment die Geschwindigkeit der Präzession und der Strömung addieren, während sie sich im oberen Segment subtrahieren. Daher haben die Zentripetalkräfte, die das Fluid auf der gekrümmten Flugbahn halten, einen größeren Wert im unteren und einen kleineren Wert im oberen Segment. Das Drehmoment, das „den Kreisel schweben lässt“, entsteht durch die Gegenkräfte der Zentripetalkräfte.

Präzession der Erdachse

Siehe auch

• Reguläre Präzession
• Pseudoreguläre Präzession
• Griolische Präzession
• Thomas-Präzession
• Larmorpräzession

Weblinks

• Präzession der Erdachse in der Astronomie-Bibliothek auf Astronomie.de
• Präzession eines seitlich von seinem Schwerpunkt aufgehängten rotierenden Rades
• animierte Java-Simulation des einseitig unterstützten Kreisels mit sämtlichen Parametern (Anfangsbedingungen, Präzession, Nutation, Reibung am Aufstandspunkt, Reibung in der Kreiselachse)
• Video: Präzession eines rotierenden Rades. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2003, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14828.

Einzelnachweise

1. ↑ Péter Hantz, Zsolt I. Lázár: Precession intuitively explained. In: Frontiers in Physics. 7. Jahrgang, 2019, doi:10.3389/fphy.2019.00005 (frontiersin.org). 
2. ↑ Nicolaus Copernicus: De revolutionibus orbium coelestium, 3. Buch, Kapitel 1