Lagrange-Kreisel

Bei der pseudoregulären Präzession des symmetrischen Lagrange-Kreisels ist der Drehimpuls groß und in der Nähe der Figurenachse ausgerichtet. Nähe bedeutet hier genauer, dass die Oszillationen des Locus der Figurenachse auf der Einheitskugel mit dem bloßen Auge nicht wahrnehmbar sind. Der Drehimpuls L hat eine hinreichende Größe, wenn L² > 100CGs, worin C das axiale Hauptträgheitsmoment, G die Gewichtskraft und s der Abstand des Massenmittelpunkts vom Stützpunkt ist. Weil der Drehimpuls nach Voraussetzung vom Eigendrehimpuls L₃ dominiert wird, kann statt des Betrages L des Drehimpulses auch der Eigendrehimpuls L₃ zur Qualifizierung benutzt werden.

Die pseudoreguläre Präzession kann sinnfällig vereinfacht dargestellt werden, siehe Bild. Denn weil das Moment der Gewichtskraft immer senkrecht auf der Figurenachse steht, die in der Nähe des Drehimpulses angenommen wird, ist nach dem Drallsatz ${\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}$ die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulses etwa senkrecht zu ihm. Daher bewegt sich der Drehimpuls in guter Näherung auf einem Kegel, dem Präzessionskegel, um die senkrechte Präzessionsachse mit einer Präzessions-Kreisfrequenz ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ gemäß

${\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {L}}}$

Das ist analog zu ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$, wo sich die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ bei einer reinen Rotation mit Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ aus dem Abstand ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zu einem Fixpunkt auf der Drehachse ergibt. In Komponenten mit ${\displaystyle {\vec {M}}=Gs\sin(\alpha ){\hat {e}}_{N},\;{\vec {\Omega }}=\Omega {\hat {e}}_{z},\;{\vec {L}}\approx C\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}$ und ${\displaystyle {\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}=\sin(\alpha ){\hat {e}}_{N}}$ schreibt sich das

${\displaystyle M=Gs\sin(\alpha )=\Omega C\omega _{3}\sin(\alpha )\quad \rightarrow \quad \Omega ={\frac {Gs}{C\omega _{3}}}}$

Darin sind ê_{N, z, 3} die Richtungsvektoren der Knotenlinie ê_z × ê₃, der Lotlinie bzw. der Figurenachse. Die Präzessionsfrequenz Ω wächst also mit dem Moment und ist umso kleiner je größer der Eigendrehimpuls L₃ = Cω₃ um die Figuren- oder 3-Achse ist. Die Präzessionsfrequenz entspricht derjenigen bei der regulären Präzession des schnellen Kreisels, in die der Kreisel durch sekundäre Effekte wie Reibung und elastische Verformung rasch übergeht. Weil sich die Figurenachse nur in der Nähe des Drehimpulsvektors befindet, umläuft sie diesen rasch auf engem Kegel.

Der Umlauf des Locus der Figurenachse um den Drehimpulsvektor kann durch eine Zykloide in einer Tangentialebene an die Einheitskugel angenähert werden:

${\displaystyle \xi =r\omega t+\rho \sin(\omega t),\;\eta =r+\rho \cos(\omega t)}$

mit

${\displaystyle r={\frac {AGs\sin(\vartheta _{0})}{L_{3}^{2}}},\;\rho ={\frac {L_{z}-L_{3}\cos(\vartheta _{0})}{L_{3}\sin(\vartheta _{0})}}-r,\;\omega ={\frac {L_{3}}{A}}}$

Darin ist ξ die Koordinate parallel zum Breitenkreis, auf dem der Drehimpuls näherungsweise umläuft, r der Radius des Gangkreises, ω die Umlaufgeschwindigkeit der Figurenachse um den Drehimpuls auf dem Gangkreis und η die Auslenkung senkrecht zum Breitenkreis. Der Index 0 markiert den mittleren Wert des Neigungswinkels.

Der Cosinus u = cos(ϑ) des Neigungswinkels ϑ und der Präzessionswinkel ψ sind näherungsweise

${\displaystyle u=u_{0}+{\hat {u}}\sin(\omega t),\;\psi ={\frac {Gs}{L_{3}}}t+{\frac {\hat {u}}{1-u_{0}^{2}}}\cos(\omega t)}$

Darin ist

${\displaystyle {\hat {u}}={\frac {L_{z}-L_{3}u_{0}}{L_{3}}}-{\frac {AGs}{L_{3}^{2}}}(1-u_{0}^{2}),\;\omega ={\frac {L_{3}}{A}}}$

Der Spielkreisel vermag bei gleicher Bauform und gleichen Anfangsbedingungen eine gleich schnelle pseudoreguläre Präzession auszuführen, allerdings vollziehen bei ihm sowohl der Massenmittelpunkt als auch der Aufstandspunkt feine Schwankungen, weswegen von einem Nutationskegel nicht mehr die Rede sein kann.

Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel

Wenn beim Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel die Winkelgeschwindigkeit um die Schwerpunktsachse vom Stützpunkt zum Schwerpunkt sehr groß ist, dann bewegt sich der Kreisel analog zur pseudoregulären Präzession des Lagrange-Kreisels.